陕西科技大学试题纸。
课程常微分方程班级。
学号姓名。一、填空题 (本题共5小题，每小题4分，满分20分)
1、微分方程的阶数是 ，是否为齐次线性方程 .
2、当满足时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。
3、若为齐次线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为。
4、方程的常数解是。
5、方程的特解可设为。
二、单选题 (本题共5小题，每小题3分，满分15分)
a. b. c. d.
2、的通解为为任意常数）
a. b. c. d.
3、.微分方程的公共解为___
a. b. c. d.
4、的积分因子为___
a. b. c. d.
5、函数与___
a．均为常正的 b．均为定正的 c．常正，定正 d．定正，常正。
三、解下列微分方程（本题共5小题，分值：6+6+6+6+12，满分36分）
1、求方程。
2、求方程的通解。
3、求方程的通解。
4、求解方程的通解。
5、求解方程的一个特解。
四、（本题10分）试求方程组的解。
五、证明题（本题共2小题，分值：10+9，满分19分）
1、证明方程解存在唯一性。
2、给定方程，其中在上连续，设是上述方程的两个解。证明极限存在。
陕西科技大学试题纸。
课程常微分方程参***班级数学信息091-2
学号姓名。一、填空题 (本题共5小题，每小题4分，满分20分)
1、微分方程的阶数是 3 ，是否为齐次线性方程否 .
2、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是___其中c为n*n奇异矩阵。
3、初值问题的解满足积分方程。
4、是恰当方程， 则 。
5、二维平面自治系统的奇点，当参数满足条件时，为稳定的奇点。
二、单选题 (本题共5小题，每小题3分，满分15分)
1、一阶线性方程的积分因子是___b___
a． b． c． d．
2、方程通过点的解的最大存在区间是___a___
a.(2，) b.(0，) c.(-d.(-3)
3、曲线满足方程___c__．
a． b． c． d．
4、如果是二阶线性方程的解，则下列是的解的是__c___
a． b． c． d．
5、函数与___d___
a．均为常正的 b．均为定正的 c．常正，定正 d．定正，常正。
三、解下列微分方程（本题共5小题，分值：6+6+6+6+12，满分36分）
4、求方程。
解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得分。
代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=．．分。
带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。
此外方程还有解y=0分。
解因为，所以原方程是全微分方程。
取，原方程的通解为。即分。
解：令则原方程消去后，有。
由此，得。所以。
故原方程的通解为分。
3、（２xy+
解：因为。又因为。
所以方程有积分因子：u(x)=
方程两边同乘以得：
也即方程的解为 ．
解：的通解是 ,设原方程的特解是，
将代入原方程得，所以有 ,所以原方程的通解是 ;
四、（本题10分）试求方程组的解。
解： 得取。
得取。则基解矩阵。
因此方程的通解为：
………2分。
五、证明题（本题共2小题，分值：10+9，满分19分）
1、证明方程解存在唯一性。
证明：构造等价积分式。
两端求导得原方程，所以构造积分式与原问题同解；
2分。进行迭代。
2分。证明迭代的序列是收敛的。
由于构造的迭代序列收敛于一级数，及，证明是收敛的；
2分。证明收敛到的级数极为方程的解。
给求极限得：
所以是方程的解………2分。
证明解是唯一的。
设均为方程的解，并且两者不相等，则，而当x=0时，g(0)=0，，与相矛盾，所以解是唯一的。证毕2分。
2、个方程构成的齐次线性微分方程组一定存在个线性无关解向量。
证明：任取，根据解的存在唯一性定理2分。
x=a(t)x分别满足初值条件。
2分。的解一定存在2分。
又因为这n个解的朗斯基行列式，所以一定是线性无关的，即证的所求3分。
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