第二章。
1.设母体x具有负指数分布，它的分布密度为。
其中。试用矩法求的估计量。
解：从而有
2.设母体x具有几何分布，它的分布列为：
先用矩法求p的矩估计量，再求p的最大似然估计。解：令＝
所以有 ）．其似然函数为。
解之得 ．设母体ｘ具有在区间［a,b]上的均匀分布，其分布密度为。
其中a，b是未知参数，试用矩法估计求a与b的估计量。
解：因为总体ｘ服从ｕ（a，b）所以。
4.设母体x的分布密度为。
其中。1）求的最大似然估计量，2）用矩法求的估计量。
解：（1）设为样本观察值则似然函数为：
解之得： 2）母体x的期望。
而样本均值为：
5.设母体x的密度为。
试求的最大似然估计，并问所得估计量是否的无偏估计。
解：其似然函数为：
2）由于。所以为的无偏估计量。
6.设母体x的密度为。
其中k是已知的正整数，试求未知参数的最大似然函数估计量．
解：其似然函数为：
解得。．设母体ｘ具有均匀分布密度，从中抽得容量为6的子样数值1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，试求母体平均数和方差的最大似然估计量的值。
解：由题意知：均匀分布的母体平均数，方差。
用极大似然估计法求得极大似然估计量。
似然函数。选取使达到最大取。
由以上结论当抽得容量为6的子样数值1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，时。
即 8.设母体x的分布密度为。
试求的最大似然估计。
解：取子样值为。
则似然函数为。
要使似然函数最大，则需取。
即=9.元件无故障的工作时间具有负指数分布。取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后，得到它的频数分布为
如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求的点估计。
解：取子样值。
则其似然函数。
由题中数据可知。
则 10.设正态母体分布x的分布为，试在下列情况下用子样极差估计：
1）取得子样值1.5，6.2，2，3.3，2.7；
2）取得容量为20的子样，其数值见表2-2，等分成两组，前10个和后10个数据各为一组。
解：（1）由题中子样值及题意知：
极差。查表2-1得。
故。2）平均极差，查表知。
解：设为其母体平均数的无偏估计，则应有。
又因。即知。
12.设母体ｘ服从正态分布是从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三个估计量：
都是的无偏估计，并求出每个估计量的方差。问哪一个方差最小？
解： ，则。
所以三个估计量均为的无偏估计。
同理可得，
可知的方差最小也亦最有效。
13.设是具有泊松分布母体的一个子样。试验证：子样方差是的无偏估计；并且对任一值， 也是的无偏估计，此处为子样平均数。
解： 即是的无偏估计。
又因为。即也是的无偏估计。
又。因此也是的无偏估计。
14.设为母体的一个子样。试选择适当常数，使为的无偏估计。
解：由题意：
因为。要使只需。
所以当时为的无偏估计。
15.设参数的无偏估计量为，其方差依赖于子样容量。若，试证是的相合估计量。
证明：参数的无偏估计量为，依赖于子样容量。
则由切比雪夫不等式。
故有。即证为的相合估计量。
16试验证本章第一节例4中求得的二项分布中的p的估计量是优效估计。
证明：设x服从，则分布律为。
这时 例4中所以（无偏）
罗—克拉美下界满足。
所以。即为优效估计。
17．设是平均数为已知的正态母体的一个子样。试用最大似然估计法求的估计量，并验证它是否是优效估计。
解：设总体x的密度函数。
似然函数为。
因为=故的罗—克拉美下界。又因。且。
所以是的无偏估计量。
且 故是的优效估计。
18．从一批电子管中抽取100只，若抽取的电子管的平均寿命为1000小时，标准差s为40小时，试求整皮电子管的平均寿命的置信区间 （给定置信概率为95%）。
解：由题意：n=100，可以认为此为大子样，所以近似服从。
得置信区间为
已知 s=40 =1000 查表知代入计算得。
所求置信区间为（992.16 1007.84）
19.随机地从一批钉子中抽取16枚，测的其长度(单位：cm)为2.
14,2.10,2.13,2.
15,2.13,2.12,2.
13,2.10,2.15,2.
12,2.14,2.10,2.
13,2.11,2.14,2.
11。设钉长分布为正态的，试求母体平均数的置信概率为90%的置信区间：（1）若已知（cm）；（2）若未知。
解：（1）已知则由。
解之得置信区间
将n=16 =2.125
代入计算得置信区间（2.1209 2.1291）
2）未知 解得置信区间为
将n=16 代入计算得。
置信区间为（2.1175 2.1325）。
20．为估计制造一批钢索所能承受的平均张力，从其中取样做10次试验。由试验值得平均张力为，标准差为220。设张力服从正态分布，试求钢索所能承受平均张力的置信概率为95%的置信区间。
解：用t估计法
解之得置信区间
将 n=10 查表。
代入得置信区间为（6562.618 6877.382）。
21．假定每次试验时，出现事件a的概率p相同但未知。如果在60次独立试验中，事件a出现15次，试求概率p的置信区间（给定置信概率为0.95）。
解：因n=60属于大样本且是来自（0—1）分布的总体，故由中心极限定理知近似服从即。
解得置信区间为
本题中将代替上式中的由题设条件知。
查表知。代入计算的所求置信区间为（0.1404 0.3596）
22．对于方差为已知的正态母体，问需抽取容量为多大的子样，才能使母体平均数的置信概率为的置信区间的长度不大于l？
解：未知故。
由解得。置信区间为
区间长度为于是。
计算得即为所求。
23．从正态母体中抽取一个容量为n的子样，算得子样标准差的值。设（1）n=10， =5.1；（2）n=46， =14。试求母体标准差的置信概率为0.99的置信区间。
解：未知，用估计法
解得的置信区间为
1）当n=10， =5.1时查表=23.59 =1.73
代入计算得的置信区间为（3.150 11.616）
2）当n=46， =14时查表=73.166 24.311
代入计算可得的置信区间为（10.979 19.047）
24．测得一批钢管的20个样品的屈服点（单位：吨/）为：4.
98，5.11，5.20，5.
20，5.11，5.00，5.
61，4.88。5.
27，5.38，5.46，5.
27，5.23，4.96，5.
35，5.15，5.35，4.
77，5.38，5.54 设屈服点服从正态分布，求和的置信概率为95%的置信区间。
解：（1）先求的置信区间由于未知。
得置信区间为
经计算查表 n=20
代入计算得置信区间为（5.1069 5.3131）
2）未知用统计量。
得的置信区间为
查表=32.858.91
代入计算得的置信区间为（0.1675 0.3217）
25．设母体x服从正态分布，和是子样的平均数和方差；又设，且与独立，试求统计量的抽样分布。
解：因与相互独立，所以与相互独立，故。
又因且与相互独立，有t分布的定义知。
26．设和分别是从分布为和两个母体中抽取随机子样，和分别表示x和y的子样平均数，和分别表示x和y的子样方差。对任意两个固定的实数和，试求随机变量。
的概率分布。
解：因。所以，
由于与相互独立，则。即 又因
则。构造t分布 =
27．从正态母体中抽取一个n>45的大子样，利用第一章2.2中分布的性质3，证明方差的置信区间（给定置信概率为）是。
证明：因抽取n>45为大子样。
由分布的性质3知。
近似服从正态分布。
所以 得或。
可得的置信区间为。
28． 对某农作物二个品种a,b计算了8个地区的亩产量如下：
品种a 86，87，56，93，84，93，75，79
品种b 80，79，58，91，77，82，76，66
假定二个品种的亩产量分别俯冲正态分布，且方差相等。试求平均亩产量之差置信概率为95%的知心区间。
解： 因未知，故用统计量。
其中而 查表
计算 ， 代入得。
故得置信区间。
29．随机地从批导线中愁娶根，从批导线中抽取5根，测得其电阻（单位：欧姆）并计算得；，
设测试数据分别具有分布和。试求置信概率为95%的置信区间。
解： 因故用统计量。
其中。计算得置信区间为。
把=0.000006571 =2.364
代入可得所求置信区间为（-0.002016 0.008616）。
数理统计 第二章
第二章。1 解 2 解。解 由题意知 均匀分布的母体平均数，方差。用极大似然估计法求得极大似然估计量。似然函数。选取使达到最大取。由以上结论当抽得容量为6的子样数值1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，时。即 9.解 取子样值。则其似然函数。由题中数据可知。则。11.解 设为其母体平均数的...
第二章数理统计
第二章一维随机变量及其分布。例1 一袋中装有5个白球和3个红球，不放回的抽取2次，每次1球。表示抽到的白球的个数。试求的概率分布律及分布函数。解 显然，8球中取2次取到白球的个数为 个，故随机变量的取值为 下一步需要计算取值的概率，这分别可以看做是3个同类型古典概型概率的计算 即有 其分布函数的计算...
第二章数理统计习题
第一章随机事件及其概率。作业11.写出下列随机试验的基本事件数 件商品中有 件 件次品，从中任取 件 以 2 共 个数码，任取 个构成 位数 体育彩票 2.一批产品中，含有 和次品，从中任取 件，设。至少有一件次品恰有一件次品 至少有两件次品三件都是次品 至多有一件次品至少有一件 没有次品 试分析 ...