第二章数理统计

第二章一维随机变量及其分布。

例1 一袋中装有5个白球和3个红球，不放回的抽取2次，每次1球。表示抽到的白球的个数。试求的概率分布律及分布函数。

解：显然，8球中取2次取到白球的个数为
个，故随机变量的取值为

下一步需要计算取值的概率，这分别可以看做是3个同类型古典概型概率的计算：

即有：其分布函数的计算，累积计算概率即得：

注：在计算离散型随机变量问题时，应先找出随机变量的取值，然后依据所学计算相应概率。

例2 设随机变量的概率密度函数为：，求（1）常数； （2）；（3）；（4）。

解：（1）由概率密度函数性质有：

当时， 当时，

当时， 注：计算（2）时要注意所给密度函数定义区域，不要盲目积分；在计算连续型随机变量分布函数时应用其定义。

例3 设随机变量在整个轴上取值。其分布函数为：，求：（1）常数、；（2）；（3）；（4）确定使其满足条件。解：（1）

注：连续型随机变量在其定义域内是连续函数，分布函数与其密度函数是微分与积分的关系。

例4 设随机变量，。 求（1），（2）

解（1） 即表示非负。

注：在求解函数的分布时，注意讨论参数以及随机变量函数的取值。

例5 设的概率分布律为。

求（1）；（2）；（3）的概率分布律。解：（1）

例6 设的概率密度为，求的概率密度。

解：解法1

当，即时，

当，即时，

当，即时，

解法2 ↗

注：解法1充分表明了用函数分布法求解随机变量函数的分布的方法。解法2用公式法快速的求解了随机变量函数的分布。

四、练习题。

1.设随机变量的分布律为：

求：（1）常数c；（2）；（3）。

解： 2. 一袋中装有5张编号为1~5的卡片，从袋中同时抽取3张卡片，以表示所取的3张卡片中的最小号码数。求的概率分布律。

解： 3. 某批6个零件中有4个**，从中任取3个零件，用表示所取出的3个零件中**的个数。求随机变量的概率分布律。

解： 4. 设服从泊松分布，且已知。求。

解： 5. 设随机变量的概率密度为：，求：（1）的分布函数；（2）求常数，使。

解：（1）当时，

当时， 当时，

6. 设，借助标准正态分布函数值计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）

7. 设，已知，，求、、。解：

解①②得。8. 已知某型号电子管的使用寿命为连续随机变量，其密度函数为。

求（1）常数； （2）已知一设备装有3个这样的电子管，每个电子管能否正常工作相互独立，求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率。

解：13分)

2）设事件表示一个电子管的寿命小于1500小时，则。

3分)设表示在使用的最初1500小时内电子管损坏的个数，则，于是。

9. 在下列函数中，可以作为某一随机变量的分布函数的是b ）

ab）；cd），其中．

10. 设共有n件产品，其中有m件次品，进行逐件不放回地抽取n件，若为n件中的次。

品数，则答案：；）

11．设随机变量，则答案：）

12. 设随机变量的分布密度函数和分布函数为和， 且为偶函数，

则对任意实数，有 (答案：a)

ab.；cd.。

13. 设连续型随机变量的密度函数为，则随机变量的密度函数。为。

数理统计 第二章

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数理统计第二章

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第二章数理统计习题

第一章随机事件及其概率。作业11.写出下列随机试验的基本事件数 件商品中有 件 件次品，从中任取 件 以 2 共 个数码，任取 个构成 位数 体育彩票 2.一批产品中，含有 和次品，从中任取 件，设。至少有一件次品恰有一件次品 至少有两件次品三件都是次品 至多有一件次品至少有一件 没有次品 试分析 ...