第二章随机向量的分布和数字特征的习题课。
一：选择题：
1. 若随机变量的分布函数为与则a ,b取值为（ ）时，可使f(x)=a-b为某随机变量的分布函数。
a.3/5,-2/5 b.2/3,2/3
c.-1/2,3/2 d.1/2,-3/2
分析：由分布函数在±∞的极限性质，不难知a,b应满足a-b=1,只有选项a正确。
[答案选：a]
2. 设 x～(x),且(-x)= x),其分布函数为f(x),则对任意实数a, f(-a
a.1-d b. -d
d.2f(a)-1
分析：①是偶函数，可结合标准正态分布来考虑；
d＝f(a)－f(0)；③f(0)＝0.5；④f(a)＋f(-a)=1
答案选：b]
3.设x～n(,)则随着的增大，p(|x-|<
a.单调增大 b.单调减少 c.保持不变 d.增减不定
[答案选：c
4.设随机变量x与y均服从正态分布，x～n(,16)，y～n(,25),记p=,p=,则（ ）正确。
a.对任意实数，均有b. 对任意实数，均有<
c.只对个别的值才有 = d. 对任意实数，均有》
答案选： a]
5. 设是随机变量且，则对任意常数，成立。
分析答案选：]
由，得。显然。
二：题空题。
1. 设在每次伯努里试验中，事件a发生的概率均为p,则在n次伯努里试验中，事件a至少发生一次的概率为（ ）至多发生一次的概率为（ ）
答案填：(1-(1-p));1-p) +np(1-p))]
由伯努里概型的概率计算公式，，据题意可知，事件a至少发生一次的概率为或，事件a至多发生一次的概率为=+
2. 设随机变量y在区间[1，6]上服从均匀分布，则方程有实根的概率为（ ）
分析：方程有实根当且仅当δ0，即|y|2,则p(|y|2)= d=0.8
答案填：0.8]
3. 设 x～ ，对x的三次独立重复观察中事件 出现的次数为随机变量y,则p=0.25,y服从b(3,0.25)分布，则p=,则p=(
分析：由p=1-p==，可得p=,则p=1-p=φ(2.5)-φ2.5)
答案填：0.9876]
6. 设随机变量x的概率密度为
若k使得p=2/3,则k的取值范围是（ ）
分析：答案填：[1，3]]
7. 设随机变量xf(x)=,x＜+∞则x f(x)=(
答案填： ]
分析：当x＜0时，f(x)= dd
当x0时，f(x)= ddd
8. 设xu(0,2),则y=在(0,4)内的概率密度（ ）
答案填：]分析：当0＜y＜4时，
此时， =注：由于y=在(0,4)内是单调函数，可直接用公式做！
9. 设x的分布函数，则a=( p |x|＜
答案填：1；]
10. 设x的分布函数f(x)为：
则x的概率分布为（ ）
分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x是离散型的随机变量。
答案： p(x=-1)=0.4,p(x=1)=0.4,p(x=3)=0.2.]
11. 设随机变量x的概率密度函数则 e(x
分析：由x的概率密度函数可见x～n(1,),则e(x)=1答案填：1；.]
12. 设随机变量x服从参数为2的泊松分布，且z=3x-2, 则e(x答案填：4]
13. 设x～n(2，)且p= d 得所求概率为： 1 -
3. 设随机变量x的概率密度函数，求随机变量y=1-的概率密度函数。
解：y的分布函数为。
则。注：由于是单调函数，可直接用公式做！
4. 设随机变量x的概率密度 = x0，求y=的概率密度。
解：当y＜1时， 0
当y≥1时，
由于，则知当y＜1时， =0, 当y≥1时， =
注：由于y=在(1,∞)内是单调函数，可直接用公式做！
5. 设随机变量x的概率分布为p(x=1)=0.2,p(x=2)=0.3,p(x=3)=0.5,写出其分布函数f(x)。
答案：当x＜1时，f(x)=0; 当1≤x＜2时，f(x)=0.2;
当2≤x＜3时，f(x)=0.5;当3≤x时，f(x)=1
6. 设随机变量x在区间[1，2]上服从均匀分布，求y=的概率密度f(y)。
答案：当时，f(y)=，当y在其他范围内取值时，f(y)=0.]
7. 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均72分，且96分以上的考生数占2.3%。求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。
解：设x表示考生的外语成绩，且x～n(72,),则。
p(x >96)=1-p(x 96)=1- (0.023,即()=0.977,查表得=2，则=12，即且x～n(72,144)，故p(60x84)=p(-11)=2 (1)-1=0.
682excel计算的函数为 norminv
8. 设测量误差x～n(0，100)，求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值（精确到0.01）。
解：由于x～n(0，100)，则。
p(|x|＞19.6)=1- p(|x|19.6)=2[1- (1.96)]=0.05且显然y～b(100,0.05),故p(y3)
=1- p(y 2)=1-
设=np=100×0.05=5，且yp(5),则。
p(y3)=1- p(y 2)=1-=0.875348
9. 设一大型设备在任何长为t的时间内，发生故障的次数n(t)服从参数为t的泊松分布，求：
1）相继两次故障之间的时间间隔t的概率分布；
2）在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率。
解：（1） 只需求出t的分布函数f(t)：当 t< 0时，f(t)=p(t t)=0
当 t0时，f(t)=p( t t )=1-p( t >t)= 1-p(n(t)=0)=
可见t服从参数为的指数分布。
2）p(t >16|t >8)=
10.设x服从参数为2的指数分布，求证：y=1-在[0，1]上服从均匀分布。
证明： 由x的分布可见其有效取值范围是[0，+∞则y的有效取值范围是[0，1]，从而：
当y0时，f(y)=0; 当y 1 时，f(y)=1;
当0＜y<1, f(y)=p(y y)= p
p=1-=1-(1-y)=y
对f(y)关于y求导数即得y的密度函数：
故y在[0，1]上服从均匀分布。
11. 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，其概率均为0.4，用x表示途中遇到红灯的次数，求x的分布律、分布函数和数学期望。
解：显然x～b(3,0.4),其分布律为，i=0,1,2,3,分布函数为： ，e(x)=
第二章统计习题课
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054第二章统计习题课
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