概率统计第二章（b）组习题。
一、单选题。
1．设随机变量，随机变量，且。
则必有。a）；（b）；（c）；（d）.
解：显然，同理，.
因为。由于是单增函数），故应选（a）.
2．设随机变量，其分布函数为，则对于任意实数，有。
a）；（b）；
c）；（d）.
解：因为，，而，故，选（b）.
3．假设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数。
a）是连续函数；（b）至少有两个间断点；（c）是阶梯函数；（d）恰好有一个间断点。
解：依题意，.而。
当时，.当时，.
当时，，由分布函数的定义有：.
于是，.经计算得，是其唯一的间断点，故选（d）.
4.设其分布函数是。
a）；（b）；
c）；（d）
解：因为，所以当时，；
当时，.故，选（b）.
5．设连续型随机变量的概率密度函数是一个偶函数，为的分布函数，则对于任意实数，有。
a）；（b）；（c）；（d）.
解：因为，所以。选（b）.
6．设，且是的分布函数，则对于任意实数都有成立。
a）；（b）；
c）；（d）.
解：因为，且。
所以，故选（b）.
7．设连续型随机变量的分布函数为，密度函数为，而且与有相同的分布函数，则。
a）；（b）；（c）；（d）.
解：由于与有相同的分布函数，则。
故在的两边求导得：，故选（c）.
8.设，对于给定的，数满足，若，则。
a）；（b）；（c）；（d）.
解：因为，且。
所以，故，选（c）.
9．设随机变量的密度函数为，则随机变量的概率分布是。
a）在上均匀分布；（b）参数为的指数分布；
c）在上均匀分布；（d）参数为的指数分布。
解：记为随机变量的分布函数，则当时，当时；当时，
由此可见，随即变量的分布函数，故是区间上的均匀分布函数，因此变量的概率分布是区间上的均匀分布，选（c）.
10．设随机变量与相互独立，且均服从上的均匀分布，则下列随机变量中仍服从某区间上的均匀分布的是。
解：经计算易知的分布函数为，此即为上的均匀分布，故选（ｃ）
二、计算题。
1．设随机变量在上服从均匀分布，现在对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于的概率。
解： “对的观测值大于是”；由题意，则。
设表示三次独立观测中观测值大于的次数，则。
故，.2．某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似地服从正态分布——，分以上的占考生总数的，试求考生的外语成绩在分至分之间的概率。
解：由题意：，即，则，.
从而。3．设随机变量的分布密度为：
求：（1）系数；（2）落在内的概率；（3）的分布函数。
解：（1）由得：，故。
3）由，则当时，；当时，；当时，.
故的分布函数为：.
4．设在一段时间内进入某一商店的顾客人数服从泊松分布，每个顾客购买某种物品的概率为，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店购买这种物品的人数的概率分布。
解：设表示“进入商店购买这种物品的人数”，则的取值为“，其中：为进入该商店的顾客人数。
显然，的取值是与进入商店的人数有关的，且在的条件下服从二项分布，即。
由全概率公式得：
5．设，求的概率密度。
解：方法（1）：由题意：的概率密度为则，的分布函数为：
当时，，即；；
当时，，即。；
当时，，即。；
即，，.方法（2）：令，则，故单增，于是。
6．设随机变量的概率密度为令，求的概率密度。
解：的分布函数为。
当时，，；当时，当时，当时，，.
综上，.求的分布函数时，还可以另解为：因为，所以当时单调递增，当时，单调递减。
当时， 当时，
故，.7．某仪器装有只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，密度为：，试求：在仪器使用的最初小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。
解：设为每只电子元件在最初小时内损坏的概率，为使用寿命，则。
再设“在使用的最初小时内，至少有一只电子元件损坏”.
故，.8.假设一厂家生产的每台仪器，以概率可以直接出厂；以概率需进一步调试，经调试后以的概率可以出厂；以的概率定为不合格品不能出厂。
现该厂新生产了台仪器（假设各仪器的生产过程相互独立）.求：（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰好有两件不能出厂的概率；（3）其中至少有两件不能出厂的概率。
解：关键需要求出每台仪器能够出厂的概率。设“仪器调试后能出厂”； 能直接出厂”；则为“仪器需进一步调试”.
于是，.再设为所生产的台中能出厂的台数，则，于是。
9.设的分布函数为，且单调。证明：服从区间上的均匀分布。
证明：因为是的分布函数，所以单调不减，且，从而。
当时，当时，当时，.
故，的分布函数为。
易知其密度函数为：，于是服从区间上的均匀分布。
2,第二章习题解答b
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概率论第二章习题参考解答
概率论与数理统计习题参考解答 习题二 1.用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果。写出它的概率函数和分布函数。解 假设 1对应于 正面朝上 0对应于反面朝上。则。p 0 p 1 0.5 其分布函数为。2.如果 服从0 1分布，又知 取1的概率为它取0的概率的两倍，写出 的分布律和分布函数。解 根据题意...
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