第二章不定方程。
解答题。1、将一根30米长的钢料截割成规格分别为2米、3米和8米的较短的料，每种规格的料至少有一根，问怎样截法才能使原来的钢料恰好用完？
解：设2米、3米、8米的料分别截x、y、z 根，根据题意有。
又x、y、z的最小值为1，所以。
由此可知，z的可能取值为
1） 当z=1时，原方程化为：
可知是方程的一个解。
则该方程的全体解为、，
又因为。所以只能取，解得{ {
2） 当z=2时，原方程化为 ：
可知、是方程的一个解。
则该方程的全体解为、，
又因为、所以只能取，解得{ {
3） 当z=3时原方程化为。
可知此方程无正整数解。
综上所述原方程共有五组解。
2、求弦长小于30的所有勾股数。
解：由勾股方程的基本解形式知：，,且、一奇一偶，所以可确定、的值。
时=3， =4， =5
时=5， =12， =13
时=15， =18， =17
时=7， =24， =25
时=21， =20， =29
以上是五组基本解。
由基本解，，可以得到四组不互质的解。
由基本解，可以得到一组不互质的解。
所以弦长小于30的够股数共有十组。
3.鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁母雏几何？
解： 分别以代表鸡翁，鸡母，鸡雏的数目，则依题意有：
我们要求的是这个不定方程组的非负整数解，所以消去得：，它的全部非负整数解为：
所以本题解为：见下表。
4.甲班有学生人，乙班有学生人，现有支铅笔分给这两个班，要使甲班的学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？
解： 设甲、乙班的学生每人分别得支铅笔，则，解这个不定方程得。
5.某国硬币有分和分两种，问用这两种硬币支付分货款，有多少种不同的方法？
解： 设需枚分，枚分恰好支付分，于是。
由于，所以，并且由上式知．因为，所以，从而，①的非负整数解为。
所以，共有种不同的支付方式．
6. 甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这三样东西共100斤，问各买几斤？
解设买甲物斤，乙物斤，丙物斤，则。
消去，得1显然是方程(1)的解，因此，方程(1)的一般解是。
tz因为，所以。
即可以取值相应的的值是。
计算题。7．求解不定方程组；
解：消去得，解得，，从而得到不定方程的解。
8.求方程的正整数解。
解：，代入原方程可得，于是，其中，由此得，反之，将上式代入原方程知它们是原方程的正整数解。
9. 求的一切解。
解：，，故方程有解。考虑方程，即及，则分别得到。
消去，得到。
10.求不定方程。
解：原方程等价于
依次解方程
分别得到 （1） (2)
将（1）式与（2）式中的消去，得到
11．求不定方程的解。
解依次解方程
由得到。由得到。
将式与式中的t消去，得到，12. 将写成三个分数之和，它们的分母分别是。
解：设，则。
依次解方程。
得到 消去，得。
令，得到。故。
13.求解不定方程。
因为，所以有解。
考察， 所以是特解。
所以，原方程的解是 .
14.求不定方程的解。
解：依次解方程。
得到：15. 求。
解由给定的方程得。
其中，应该也是整数解，故得一新的不定方程。
又。仿前令。
其中，，即最后得到。
然后(2)的一切解是。
而（1）的一切解是。
16.求不定方程的整数解。
解： 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解。
利用求二元一次不定方程的方法，因为。
,所以，上面两个方程的解分别为。
消去t就得到所求的解。
这里是任意整数。
17.解不定方程：
解：依次解方程 ，，分别得到 ，消去，得到。
18.把写成分母两两互素的三个既约分数之和。
解： 所以可设。
即 令则上式变为。
易解得一组特解为。
其全部解为。
易得上式一组特解为。
原不定方程通解为其中。
为满足题设条件，需此时取零。
19.解三元一次不定方程：
解：去掉公因子3，化简为。
用代入法。由式解得。
由式解得。20.求不定方程的正整数解。
解：所给方程可写为。
由得》1>
可取1,2,3 应取18,9,6
即。解知得。
21. 求方程的所有正整数解。
解：分别解得，
消去得，由此得原方程的所有正整数解为。
22.求方程的整数解。
解： 23．求方程的所有正整数解。
解：分别解。
得。消去得。
故原方程的全部正整数解为：
24.求的解。
解：引入变量。
而的通解为。
的通解为。所以原不定方程的通解为。
25.求的一切解。
解：（9,24）=3，（3，-5）=1，故方程有解，考虑方程，，其中，消去可得，26. 求不定方程的解。
解：，所以方程有解。
由辗转相除法（或直接观察），可知是。
的解，所以是原方程的一个解。所求方程的解。
27.求不定方程的解。
解：原方程等价于解方程组：
分别得到。将消去，得到。
28．的解。
因为为的特解，所以（其中）为该方程的解。
29.将写成三个分数之和，它们的分母分别是2，5，7
其中）则等价于，有（1）解的（其中）即。
解得（其中），所以的解为（其中），令得。
所以。30.解不定方程。
解：因为，所以可以化简为解得：所以的解为：所以，的一切解为且。
31. 求不定方程的整数解。
解： 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解。
25x+13y=t, t+7z=4.
利用求二元一次不定方程的方法，因为。
25(-t)+13(2t)= t, 32+7 (-4)=4,所以，上面两个方程的解分别为。
消去t就得到所求的解。
这里是任意整数。
32.解不定方程。
解：因为，所以有解，化简得考虑有，所以原方程的特解为，因此所求的解是（其中）.
33. 求不定方程的整数解。
解： 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解。
利用求二元一次不定方程的方法，所以，上面两个方程的解分别为。
消去t就得到所求的解。
这里是任意整数。
34.求不定方程的所有正整数解。
解：原方程等价于解方程组：
分别得到。将消去，得到。
由此得到原方程的全部正整数解为。
35.求解不定方程组：
解答：消去得，解得。
于是得不定方程得，36.将写成三个分数之和，它们的分母分别为。
依次解方程即。
得到。式（1）与式（2）消去得到。
令，得到。因此。
37.求不定方程的解。
解：，所以方程有解。
由辗转相除法可知，是的解。
所以是原方程的一个解。
故所求方程的解是。
38.解不定方程。
解析：.39.解不定方程。
解：由定理3依次解方程和。
分别得到解和。
将上式消去t得。
40.解不定方程。
解： 方程有解。
有观察法得，是一组特解。
全部解为：
41.求的不定方程的全部解。
解：显然解是为求非显然解，由式（9）和式（10）知；
先要把65表为65=,其中满足式（7），可取1，5，13，当=1时。
即相应的解为。
即。相应的解为及。
当时，即相应的解为。
及这就求出了全部解。本原解仅有。
63，16，65；33，56，65；及16，63，65；56，33，65.
42.求的整数解．
解：将方程变形得。
因为是整数，所以应是的倍数．由观察得是这个方程的一组整数解，所以方程的解为。
为整数。解法2 :
先考察，通过观察易得。
可取．从而。
为整数。证明题。
43.证明：二元一次不定方程的非负整数解的个数为或。
证明： 二元一次不定方程的一切整数解为，于是由得，但区间的长度是，故此区间内的整数个数为或。
44.若或，，证明方程无整数解。
证明：对任意的整数，，记 ，则，其中 ，则
则无整数解。
45.证明：不存在x,y,使得。
证明：对任意整数x,y 记。
0，1，4，，0，1，则，=0,1,2,4,5
故无解。
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