习题2.11.在下列随机试验中，分别用适当的随机变量表示所列事件：
1)掷一颗骰子，观察出现的点数。用随机变量表示事件“出现4点”,“出现的点数大于4”;
2)从一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。用随机变量表示事件“任取一只灯泡的寿命不超过1000(小时)”,任取一只灯泡的寿命在500(小时)到800(小时)之间”.
解：(1)设表示“掷一颗骰子所得的点数”，则“出现4点”可表为，“出现的点数大于4”可表为。
2)设表示“从一批灯泡中任意抽取一只的寿命(小时)”，则“任取一只灯泡的寿命不超过1000(小时)”可表为，“任取一只灯泡的寿命在500(小时)到800(小时)之间”可表为。
2.一口袋中装有4个球，在这4球上分别标有-2,1,1,3这样的数字，从这口袋中任取一球，求取出的球上所标数字的分布律和分布函数，并求。
解：的分布律为。
分布函数为。
4.设随机变量的分布函数求：(1);
2)x的分布律。
解：(1)
2)分布律为。
5.在区间上任取一点，求该点的坐标的分布函数。
解：当时，；当时，；当时，，即得。
6.一同学算得一随机变量的分布函数为试说明他的计算结果是否正确。
解：不正确，这里的在处是左连续的。
7.设有函数试说明能否是某随机变量的分布函数。
解：不正确，这里的在上是单调下降的。
习题2.21.设离散型随机变量的分布律为。
求的分布函数，并画出它的图形。
解：画图。5.
一批零件中有9个**和3个次品。安装机器时，从这批产品中任取一个零件，如果每次取出的次品不再放回，而再取一个零件，直到取出**为止，求取得**之前已取出的次品数的分布律。
解：取值。设表示“第次取到次品”，则。
即得的分布律为。
7.设随机变量，且，则；
解：由，即，得，.
9.设在一次试验中事件发生的概率为。当发生不少于3次时，事件发生。
1)进行了5次独立试验，求事件发生的概率；
2)进行了7次独立试验，求事件发生的概率。
解：(1)设表示“在5次试验中发生的次数”则。
2)设表示“在5次试验中发生的次数”则。
10.在一繁忙的交通路口，有大量的汽车通过。设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为。在某天的该段时间内有辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少(用泊松定理来计算).
解：设表示“在某天的该段时间内出事故的次数”则，则，且。
14.设，且，求。
解：由，即得，于是。
习题2.31.设连续型随机变量的分布函数为试求：(1)常数；(2)的取值落在内的概率；(3)的概率密度。
解：(1)由于为连续函数，有，得，于是。
3)的概率密度。
3.设随机变量的概率密度为求：(1)常数；(2)的取值落在内的概率；(3)的分布函数。
解：(1)由得于是。
3)的分布函数。
5.设随机变量的概率密度为求：(1)常数；(2)概率；(3)的分布函数。
解： 1)由于，得。于是或。
3)(3)的分布函数得。
7.设某种电子元件的寿命(小时)的概率密度为设某种仪器内装有3个独立工件的这种电子元件，试求：(1)使用的最初150小时内没有一个元件损坏的概率；(2)这段时间内只有一个元件损坏的概率；(3)的分布函数。
解：一个元件“使用的最初150小时内没有损坏的概率”为。
1)观察3个独立工作的元件相当于作3次独立试验，表示一个元件“使用的最初150小时内没有损坏”，则，于是由二项概率公式“使用的最初150小时内没有一个元件损坏的概率”为。
2)这段时间内只有一个元件损坏的概率为。
3)的分布函数即得。
9.设随机变量，求方程有实根的概率。
解：的概率密度为方程有实根的充要条件是，即或，于是得方程有实根的概率为。
12.设随机变量，而且求常数。
解：设的分布函数为。于是。
解得。查表得。
13.测量距离时所产生的随机误差x(m)服从正态分布，做三次独立测量，求：(1)至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率；(2)只有一次误差的绝对值不超过30m的概率。
解：误差x的绝对值不超过30m的概率为。
查表得，1)作3次测量至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率。
2)只有一次误差的绝对值不超过30m的概率为。
习题2.41.设随机变量的分布律为。
求：(1),(2);(3)的分布律。
解：由的分布律可得下表。
于是得(1)的分布律为。
2)的分布律。
3)的分布律。
看定理2.4.1及其推论。
2.设随机变量服从参数为的指数分布，求的概率密度(用定理2.4.1的推论计算).
解：(1)的概率密度为。
2)这里；3)的反函数为，；
5)的概率密度为。
3.设随机变量，求的概率密度(用定理2.4.1计算).
解：(1)的概率密度为。
2)这里；3)的反函数为，3) ，于是得的概率密度。
4.设随机变量，求的概率密度(用定理2.4.1的推论计算)..
解：(1)的概率密度为。
2)这里。3)的反函数为，4)；
于是得的概率密度为。
5.设随机变量，证明，其中为常数，且(用定理2.4.1计算)..
解：(1)的概率密度为。
2)这是。3)的反函数为，4) ，于是得的概率密度。
可见。6.设电压，其中是一已知的正常数，相角是一随机变量，且有，求电压的概率密度。
解：的概率密度为。
这里，的反函数为，于是得的概率密度。
7.分子运动速度的绝对值是服从麦克斯威分尔布的随机变量，其概率密度为。
求分子动能为分子的质量)的概率密度。
解：这里；在的反函数为，于是得的概率密度。
8.设正方体的棱在上服从均匀分布，求正方体的体积的概率密度。
解：的概率密度为。
这里，的反函数，
于是得的概率密度。
第二章习题解答
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第二章 习题解答
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