双基限时练(一)
1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的个数是( )
a．50b．26
c．24 d．616
解析由分类计数原理知，共有26＋24＝50(个)．
答案 a2．从a地到b地要经过c地和d地，从a地到c地有3条路，从c地到d地有2条路，从d地到b地有4条路，则从a地到b地不同走法的种数是( )
a．3＋2＋4＝9 b．1
c．3×2×4＝24 d．1＋1＋1＝3
解析由乘法计数原理知，共有3×2×4＝24(种)．
答案 c3．学校有4个出入大门，某学生从任一门进入，从另外一门走出，则不同的走法种数有( )
a．4 b．8
c．12 d．16
解析 4×3＝12(种)．
答案 c4．从集合a＝中任取三个数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可构成不同的二次函数的个数是( )
a．48 b．59
c．60 d．100
解析由题意知，a≠0，a可取1,2,3,4中任意一个．有4种取法．同理b有4种取法，c有3种取法．由分步计数原理知，共有4×4×3＝48(个)．
答案 a5．5名高中毕业生报考三所重点院校，每人限报且只报一所院校，则不同的报名方法有( )
a．35种 b．53种。
c．60种 d．10种。
解析每一名高中毕业生都有3种选择，因此共有3×3×3×3×3＝35(种)．
答案 a6．已知集合a＝，m，n∈a，方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则这样的椭圆共有( )
a．45个 b．55个。
c．78个 d．91个。
解析 m，n只能取1,2,3，…，10，且m>n，按m取10,9,8，…，3,2可分为9类，共有9＋8＋7＋…＋1＝45(个)．
答案 a7．电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排最多可产生___种不同的信息．
解析由题意知，每个穿孔都有2个信息，因此8个穿孔共有28种不同的信息．
答案 256
8．从5名医生和8名**中选出1位医生和1名**组成一个两人医疗组，共有___种不同的选法．
解析 5×8＝40(种)．
答案 409．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有___个．(用数字作答)
解析因为四位数的每个位数上都有两种可能性(取2或3)，其中四个数字全是2或3的不合题意，所以适合题意的四位数共有2×2×2×2－2＝14(个)．
答案 1410．由数字0,1,2,3,4可以组成多少个三位整数(各位上的数字可以重复)．
解要组成一个三位数，要分三步．
确定百位上的数字有4种；②确定十位上的数字有5种；③确定个位上的数字有5种，所以n＝4×5×5＝100(个)．
11．有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加．
1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？
2)若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？
解 (1)可分为三类：选老师1名，男同学1名，女同学1名，由分类加法计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．
2)可分三步：第一步选老师1名，第二步选男同学1名，第三步选女同学1名，由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120种选法．
3)可分两类，每一类又可分两步．第一类：选1名老师和1名男同学；第二类：选1名老师和1名女同学．因此，共有3×8＋3×5＝39种选法．
12．若直线方程ax＋by＝0中的a，b可以从0,1,2,3,4这五个数中任取两个不同的数字，则该方程表示的不同的直线共有多少条？
解按a，b是否为0进行分类．第一类：a或b中有一个取0时，方程表示不同直线为x＝0，或y＝0，共2条；第二类，a，b都不取0时，确定a的取值有4种方法，确定b的取值有3种方法，共有3×4＝12(种)．但是，当a＝1，b＝2与a＝2，b＝4时，方程表示同一条直线．类似地还有a＝2，b＝1与a＝4，b＝2的情况，综合上述，方程表示的不同直线共有：2＋12－2＝12(条)．
13．如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点a爬到相对顶点c1，求其中经过3条棱的路线有多少条．
解从总体上看有三类方法：分别经过ab，ad，aa1，从局部上看每一类α需分两步完成，故第一类：经过ab，有m1＝1×2＝2条；第二类：
经过ad，有m2＝1×2＝2条；第三类：经过aa1有m3＝1×2＝2条．根据分类加法计数原理，从顶点a到顶点c1经过3条棱的线路共有n＝2＋2＋2＝6条．
双基限时练(二)
1．由数字1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数的两位数的个数为( )
a．11b．12
c．30 d．36
解析先确定十位数字，有6种取法，再确定个位数字有5种取法，由乘法原理得6×5＝30(个)．
答案 c2．某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有( )
a．3种 b．6种。
c．7种 d．9种。
解析买一本，有3种方案；买两本，有3种方案；买三本有一种方案，因此共有方案：3＋3＋1＝7(种)．
答案 c3．某座四层大楼共有3个门，楼内有两个楼梯，那么由楼外到这座楼的第四层的不同走法的种数共有( )
a．12 b．24
c．18 d．36
解析由分步乘法计数原理得，共有3×2×2×2＝24(种)．
答案 b4．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若a∈，b∈，则这样的椭圆共有( )
a．20个 b．21个。
c．25个 d．35个。
解析依题意知，b>a，当b取2,3,4,5,6,7时，对应的a可取值的个数分别为1,2,3,4,5,5个，所以共有1＋2＋3＋4＋5＋5＝20(个)．
答案 a5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为( )种．(
a．240 b．300
c．360 d．420
解析如图，四棱锥s－abcd，按s→a→b→c→d依次染色，当a，c同色时有5×4×3×1×3＝180(种)．
当a，c不同色时，有。
5×4×3×2×2＝240(种)．
因此共有180＋240＝420(种)．
答案 d6．要把3张不同的电影票分给10个人，每人最多一张，则有不同的分法种数是( )
a．2160 b．720
c．240 d．120
解析 10×9×8＝720(种)．
答案 b7．完成某项工作需4个步骤，每一步方法数相等，完成这项工作共有81种方法，改革后完成这项工作减少了一个步骤，改革后完成这项工作有___种方法．
解析设每一步骤有n种方法，则n4＝81，∴n＝3.
减少一个步骤后，共有3×3×3＝27(种)．
答案 278．如下图的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为l形，那么在由3×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的l形图案的个数为注：其他方向的也是l形)
解析每四个小正方形图案都可画出四个不同的l形图案，该图中共有8个这样的小正方形．故可画出不同的位置的l型图案的个数为4×8＝32.
答案 329．1800的正约数有___个．
解析 ∵1800＝23×32×52，∴1800的正约数有4×3×3＝36个．
答案 3610．现有高一4个班学生34人，其中。
一、二、三、四班分别有7人，8人，9人，10人．他们自愿组成数学课外活动小组．
1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解 (1)分四类，第一类，从一班学生中选1人有7种选法；第二类，从二班学生中选1人有8种选法；第三类，从三班学生中选1人有9种选法；第四类，从四班学生中选1人有10种选法，所以共有不同的选法7＋8＋9＋10＝34(种)．
2)分四步，第。
一、二、三、四步分别从。
一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法7×8×9×10＝5040(种)．
3)分六类，每一类又分两步，从。
一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从。
一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从。
一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从。
二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从。
二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从。
三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以共有不同的选法7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
11．用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①，②四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．
1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同方法？
2)若为乙着色时共有120种不同方法，求n.
解完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①、②着色时各自的方法数，再由乘法原理确定总的着色方法数．
1)为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也只有4种方法．
共有着色方法6×5×4×4＝480(种)；
2)与(1)的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n－1)·(n－2)(n－3)．
由n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0.
即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0.
n2－3n－10＝0.
n＝5.12．用1,2,3,4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列．
1)这个数列共有多少项？
2)若an＝341，求n.
解 (1)依题意知，这个数列的项数就是由1,2,3,4组成有重复数字的三位数的个数，每一个位置都有4种取法．因此共有4×4×4＝64项．
2)比341小的数分为两类：第一类：百位数字是1或2，有2×4×4＝32个；第二类：百位数字是3，十位数可以是1,2,3，有3×4＝12个．
因此比341小的数字有32＋12＝44个，所以n＝45.
高一数学下册双基限时练
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