高二（上）数学专题讲稿（七） “和双曲线离心率有关的问题”研究。
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引言：在如图所示的双曲线中，虚线仅是双曲线的对称轴（不一定是坐标轴），垂直于线段的两条直线是它的两条准线，点是双曲线上任意一点，过向两条准线引垂线，垂足分别为，那么，双曲线的离心率。
有如下形式：
本讲涉及的内容包括两个方面：已知曲线的相关性质，求离心率的值；已知曲线的相关性质，求离心率的范围。处。
理问题的关键是充分利用离心率的几何特性（特征线段的比值）和代数特性（和的比值），或者用数形结合求解，或者用齐次式的知识求解。
典型问题分析：
问题1、上面三个图形均为正多边形，以，为焦点，且经过图形中指定的点的双曲线的离心率分别为，则：，
评注】利用双曲线的定义和离心率的定义，数形结合，可以方便地求解此题。
变式1：已知，分别是双曲线的左右焦点，以原点为圆心，以为半径的圆与双曲线的右支。
相交于两点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为。
练习1：双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率为。
问题2、已知梯形中，，∥且，双曲线经过三点，且以为焦点，求双曲线的离心率。
评注】建立恰当的坐标系后，设出点的坐标，建立关于参数（或者其中的两个）的齐次方程，即可求出离心率。
变式2：双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为，则双曲线的离心率为。
练习2：双曲线的左右焦点分别是，，双曲线上存在一点，使，且。
则双曲线的离心率为。
问题3、双曲线的左右焦点分别是，，且左支上存在一点，到右准线的距离等。
于，求双曲线离心率的取值范围。
评注】求离心率的范围，关键是能够找到关于参数（或者其中的两个）的齐次不等式。
不等式的**通常有两个：一是方程中未知数的范围，例如；一是某些特征线段隐含的范围，例如双曲线右支上的点到右焦点的距离，类似的隐含条件还有很多，例如：双曲线右支上的。
点到左准线的距离应满足。
依次成等比数列，求双曲线离心率的取值范围。
练习3、双曲线的焦点分别是，，点为双曲线上一点，且，则双曲线的离心率的取值范围是。
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