河北安平中学高一年级数学学科假期作业十。
1、 选择题。
1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为( )
a．5 b．4 c．9 d．1
2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线( )
a．平行 b．垂直 c．相交 d．异面。
3.把正方形abcd沿对角线ac折起，当以a,b,c,d四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线bd和平面abc所成的角的大小为( )
a.30° b.45° c.60° d.90°
4.如图，在多面体acbde中，bd∥ae,且bd=2,ae=1,f在cd上，要使ac∥平面efb,则的值为( )
a.3 b.2 c.1 d.4
5.一个正方体的展开图如图所示，其中a,b为所在棱的中点，c,d为原正方体的顶点，则在原来的正方体中ab与cd所成角的大小是( )
a.30° b.45° c.60° d.90°
6.．如图所示，平面α⊥平面β，a∈α，b∈β，ab与两平面α，β所成的角分别为和。过a，b分别作两平面交线的垂线，垂足分别为a′，b′，则ab∶a′b′等于( )
a．2∶1 b．3∶1 c．3∶2 d．4∶3
7．在正方体abcd－a1b1c1d1中，下面说法正确的是( )
a．a1c1⊥adb．d1c1⊥ab
c．ac1与dc成45°角 d．a1c1与b1c成60°角。
8．平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是( )
a．平行 b．异面 c．垂直 d．不相交。
二、填空题。
9.如图所示，a，b，c，d为不共面的四点，e，f，g，h分别**段ab，bc，cd，da上．
1)如果eh∩fg＝p，那么点p在直线___上；
2)如果ef∩gh＝q，那么点q在直线___上．
10．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；m⊥α；m当满足条件___时，有m∥β；当满足条件___时，有m⊥β.
三、解答题。
11．如图，在正三棱柱(底面为正三角形，侧棱垂直底面)abc－a1b1c1中，f，f1分别是ac，a1c1的中点．求证：
1)平面ab1f1∥平面c1bf；
2)平面ab1f1⊥平面acc1a1.
12．如图，在正四棱柱abcda1b1c1d1中，m是棱ab的中点，点n在侧面aa1d1d上运动，点n满足什么条件时，mn∥平面bb1d1d?
13．(本小题满分12分)如图所示，在直三棱柱abca1b1c1中，ac＝3，bc＝4，ab＝5，aa1＝4，点d是ab的中点．
1)求证：ac⊥bc1；
2)求证：ac1∥平面cdb1.
河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十答案。
由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．
当直尺垂直于地面时，a不对；当直尺平行于地面时，c不对；当直尺位于地面上时，d不对．
3.当三棱锥d-abc的体积最大时，平面dac⊥abc,取ac的中点o,连接od,ob,则△dbo是等腰直角三角形，即∠dbo=45°.b
4.连接ad交be于点o,连接of,因为ac∥平面efb,平面acd∩平面efb=of,所以ac∥of.所以。
又因为bd∥ae,所以△eoa∽△bod,所以=2.故=2. b
5.展开图还原为正方体(如图),其中ef,fg,eg分别为所在面的对角线。
因为a,b分别为相应棱的中点，所以ef∥ab.易知cd∥eg,所以∠feg为ab与cd所成的角(或其补角).
又因为eg=ef=fg,所以∠feg=60°,即ab与cd所成角的大小为60°.
6. a如图，由已知得aa′⊥面β，∠aba′＝，bb′⊥面α，∠bab′＝.设ab＝a，则ba′＝a， bb′＝a，在rt△ba′b′中，a′b′＝a，∴ab∶a′b′＝2∶1.
7. d 如图，在正方体abcd－a1b1c1d1中，异面直线a1c1与ad所成的角为45°；直线d1c1与直线ab平行；异面直线ac1与dc所成的角的大小为∠c1ab的大小，其正切值为＝≠1，所以异面直线ac1与dc所成的角不是45°；连接a1d，dc1，因为a1d∥b1c，所以异面直线a1c1与b1c所成的角就是直线a1c1与直线a1d所成的角．而△a1dc1是等边三角形，所以∠c1a1d＝60°，即a1c1与b1c所成的角为60°.所以答案选d.
8. c因为平面α∥平面β，直线a∥α，所以a∥β或aβ.
若aβ，由直线b⊥β得a⊥b.若a∥β，设过a的平面与β的交线为c，则a∥c，由直线b⊥β，cβ得b⊥c，则a⊥b.综上可知a⊥b.
9.解析：利用线面平行和垂直的判定定理选择即可．答案：③⑤
10.解析：(1)若eh∩fg＝p，那么点p∈平面abd，p∈平面bcd，而平面abd∩平面bcd＝bd，∴p∈bd.
2)若ef∩gh＝q，则q∈平面abc，q∈平面acd，而平面abc∩平面acd＝ac，∴q∈ac.答案：(1)bd (2)ac
11证明 (1)如图所示，连接ff1，在正三棱柱abc－a1b1c1中，a1c1∥ac，bb1∥cc1.
f，f1分别是ac，a1c1的中点，∴c1f1∥af∥ac，ff1∥cc1∥bb1，四边形afc1f1和四边形bff1b1均为平行四边形，b1f1∥bf，af1∥c1f.
b1f1平面c1bf，bf平面c1bf，∴b1f1∥平面c1bf.
同理af1∥平面c1bf，又b1f1∩af1＝f1，∴平面ab1f1∥平面c1bf.
2)在正三棱柱abc－a1b1c1中，aa1⊥平面a1b1c1，又b1f1平面a1b1c1，∴b1f1⊥aa1.
又b1f1⊥a1c1，a1c1∩aa1＝a1，b1f1⊥平面acc1a1，而b1f1平面ab1f1，平面ab1f1⊥平面acc1a1.
12解析：如图，在正四棱柱abcda1b1c1d1中，分别取棱a1b1，a1d1，ad的中点e，f，g，连接me，ef，fg，gm.
因为m是ab的中点，所以me∥aa1∥fg，且me＝aa1＝fg.
所以四边形mefg是平行四边形．
因为me∥bb1，bb1平面bb1d1d，me平面bb1d1d，所以me∥平面bb1d1d.
在△a1b1d1中，因为ef∥b1d1，b1d1平面bb1d1d，ef平面bb1d1d，所以ef∥平面bb1d1d.
又因为me∩ef＝e，且me平面mefg，ef平面mefg，所以平面mefg∥平面bb1d1d.
在fg上任取一点n，连接mn，所以mn平面mefg.
所以mn与平面bb1d1d无公共点．所以mn∥平面bb1d1d.
总之，当点n在平面aa1d1d内的直线fg上(任意位置)时，都有mn∥平面bb1d1d，即当点n在矩形aa1d1d中过a1d1与ad的中点的直线上运动时，都有mn∥平面bb1d1d.
13证明：(1)在直三棱柱abca1b1c1中，底面三边长ac＝3，bc＝4，ab＝5，ac⊥bc.又∵c1c⊥ac.∴ac⊥平面bcc1b1.
bc1平面bcc1b1，∴ac⊥bc1.
2)设cb1与c1b的交点为e，连接de，四边形bcc1b1为正方形，e是bc1的中点，又d是ab的中点，∴de∥ac1.
de平面cdb1，ac1平面cdb1，∴ac1∥平面cdb1.
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