河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十二。
2023年2 月13 日
1、选择题。
1．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
a．l1⊥l2，l2⊥l3l1∥l3b．l1⊥l2，l2∥l3l1⊥l3
c．l1∥l2∥l3l1，l2，l3共面d．l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面。
2．用m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是( )
a．若m∥n，nα，则m∥αb．若m∥α，nα，则m∥n
c．若m⊥n，nα，则m⊥αd．若m⊥α，nα，则m⊥n
3．已知四棱锥p－abcd的底面为直角梯形，ad∥bc，∠bcd＝90°，pa＝pb，pc＝pd，则下列结论正确的是( )
a．cd⊥pd b．面pab⊥面pcdc．面pab⊥面abcd d．面pcd⊥面abcd
4.如图，等边三角形abc的边长为4，m，n分别为ab，ac的中点，沿mn将△amn折起，使得平面amn与平面mncb所成的二面角为30°，则四棱锥amncb的体积为( )
a. b． c. d．3
5．设a，b是异面直线，则以下四个结论：①存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a和b的两个平行平面；③经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b；④经过直线a有且只有一个平面平行于直线b，其中正确的个数有( )
a．1 b．2 c．3 d．4
6． 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
a． b． c． d．
7.如图，在多面体acbde中，bd∥ae,且bd=2,ae=1,f在cd上，要使ac∥平面efb,则的值为()
a.3 b.2 c.1 d.
8在正方体abcd－a1b1c1d1中，e为棱cc1的中点，则异面直线ae与cd所成角的正切值为( )
a． b． c． d．
二、填空题。
9．将边长为a的正方形沿对角线bc折叠成三棱锥abcd，折后ad＝a，则二面角abcd的大小为___
10.△abc 是边长为6的等边三角形，p 为空间一点，pa=pb=pc,p到平面abc距离为，则 pa与平面abc 所成角的正弦值为。
三、解答题。
11如图，在矩形abcd中，ab=2ad,e为ab的中点，n为bc的中点，沿de将△ade折起。
1)若平面ade⊥平面bcde,求证：ab=ac;
2)若ab=ac,求证：平面ade⊥平面bcde.
12．如图①，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠bad＝，ab＝bc＝ad＝a，e是ad的中点，o是ac与be的交点．将△abe沿be折起到图②中△a1be的位置，得到四棱锥a1－bcde.
1)证明：cd⊥平面a1oc；
2)当平面a1be⊥平面bcde时，四棱锥a1－bcde的体积为36，求a的值．
13．如图，在四棱锥p－abcd中，ad⊥平面pdc，ad∥bc，pd⊥pb，ad＝1，bc＝3，cd＝4，pd＝2.
1)求异面直线ap与bc所成角的余弦值；
2)求证：pd⊥平面pbc；
3)求直线ab与平面pbc所成角的正弦值．
河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十二答案。
1. 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故a不正确；l1⊥l2，l2∥l3l1⊥l3，故b正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故c不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故d不正确．
若m∥n，nα，则m∥α或mα，故排除a；若m∥α，nα，则m∥n或m，n异面，故排除b；若m⊥n，nα，则不能得出m⊥α，例如，m⊥n，nα，mα，则m与α不垂直，故排除c.故选d.
3.解析分别取ab，cd中点e，f，连接pe，pf，ef，则pf⊥cd，ef⊥cd.∴cd⊥面pef.
∴cd⊥pe.又∵pe⊥ab，∴pe⊥面abcd.∴面pab⊥面abcd.
4.解析：如图，作出二面角amnb的平面角∠aed，ao为△aed底边ed上的高，也是四棱锥amncb的高．由题意，得ao＝.v＝××3＝.答案：a
5.对于①，可对在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确；对于②，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确；对于③，当这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误；对于④，假设过直线a有两个平面α，β与直线b平行，则面α，β相交于直线a，过直线b做一平面γ与面α，β相交于两条直线m，n都与直线b平行，可得a与b平行，所以假设不成立，所以④正确，故选c．
6.[解析] 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体abcd－a1b1c1d1中，平面ab1d1与线aa1，a1b1，a1d1所成的角是相等的。
所以平面ab1d1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的。
同理平面c1bd也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的。
要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面ab1d1与c1bd中间。
且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为s＝6×·(2＝，故选a．
7.连接ad交be于点o,连接of,因为ac∥平面efb,平面acd∩平面efb=of,所以ac∥of.所以。又因为bd∥ae,所以△eoa∽△bod,所以df/fc=2.
8.[解析] 在正方体abcd－a1b1c1d1中，cd∥ab，所以异面直线ae与cd所成角为∠eab，设正方体边长为2a，则由e为棱cc1的中点，可得ce＝a，所以be＝a．
则tan∠eab＝＝＝故选c．
9.解析：取bc的中点o，连接oa，od，则oa⊥bc，od⊥bc，则∠aod为二面角abcd的平面角．由题设可知oa＝od＝a，oa2＋od2＝ad2，∴∠aod＝90°.
10解析：过p作底面abc 的垂线，垂足为o,连接ao并延长交bc于e,因为p为边长为6的正三角形abc所在平面外一点且pa=pb=pc,p到平面abc距离为，所以o是三角形abc 的中心，且∠pao就是pa与平面abc所成的角，因为ao=ae=2.且pa==,所以sin∠pao===
即pa与平面abc所成角的正弦值为。
11证明：(1)取de的中点m,连接am,因为在翻折前，四边形abcd为矩形，ab=2ad,e为ab的中点，所以翻折后ad=ae,则am⊥de,又平面ade⊥平面bcde,所以am⊥平面bcde,所以am⊥bc,又n为bc的中点，所以mn⊥bc,因为am∩mn=m,所以bc⊥平面amn,所以bc⊥an,又n为bc的中点，所以ab=ac.
2)由(1)设m是de中点，因为n为bc的中点，所以mn∥dc,又bc⊥dc,所以mn⊥bc,又ab=ac,所以bc⊥an,又mn∩an=n,所以bc⊥平面amn,所以bc⊥am,由(1)知am⊥de,又de与bc不平行，所以am⊥平面bcde,又am平面ade,所以平面ade⊥平面bcde.
12(1)证明：在图①中，因为ab＝bc＝ad＝a，e是ad的中点，∠bad＝，所以be⊥ac.
即在图②中，be⊥a1o，be⊥oc，又a1o∩oc＝o，从而be⊥平面a1oc.
又cd∥be，所以cd⊥平面a1oc.
2)由已知，平面a1be⊥平面bcde，且平面a1be∩平面bcde＝be，又由(1)可得a1o⊥be，所以a1o⊥平面bcde.
即a1o是四棱锥a1－bcde的高．
由图①知，a1o＝ab＝a，平行四边形bcde的面积s＝bc·ab＝a2，从而四棱锥a1－bcde的体积为v＝s·a1o＝×a2×a＝a3.
由a3＝36，得a＝6.
13(1)解：如图，由已知ad∥bc，故∠dap或其补角即为异面直线ap与bc所成的角．因为ad⊥平面pdc，直线pd平面pdc，所以ad⊥pd．
在rt△pda中，由已知，得ap＝＝
故cos∠dap＝＝．所以，异面直线ap与bc所成角的余弦值为．
2)证明：由(1)知ad⊥pd．又因为bc∥ad，所以pd⊥bc．
又pd⊥pb，pb∩bc＝b所以pd⊥平面pbc．
3)解：过点d作df∥ab，交bc于点f，连接pf，则df与平面pbc所成的角等于ab与平面pbc所成的角．
因为pd⊥平面pbc所以pf为df在平面pbc上的射影。
所以∠dfp为直线df和平面pbc所成的角．
由于ad∥bc，df∥ab，故bf＝ad＝1．
由已知，得cf＝bc－bf＝2．又ad⊥dc，所以bc⊥dc．
在rt△dcf中，可得df＝＝2
在rt△dpf中，可得sin∠dfp＝＝．
所以，直线ab与平面pbc所成角的正弦值为．
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