10．在正三棱锥sabc中，侧棱sc垂直侧面sab，且sc＝2，则此三棱锥的外接球的表面积为___
三、解答题。
11．如图所示，边长为2的等边△pcd所在的平面垂直于矩形abcd所在的平面，bc＝2，m为bc的中点．
1)求证：am⊥pm；(2)求二面角pamd的大小．
12. 在直三棱柱abc－a1b1c1中，e，f分别为a1c1和bc的中点．
1)求证：ef∥平面aa1b1b；
2)若aa1＝3，ab＝2，求直线ef与平面abc所成的角．
13．在矩形abcd中，ab＝2，ad＝1，e为cd的中点，沿ae将△dae折起到△d1ae的位置，使平面d1ae⊥平面abce.
1)若f为线段d1a的中点，求证：ef∥平面d1bc；
2)求证：be⊥d1a.
河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十一答案。
1.解析 a中的射影也有可能是两个点，错误；c中两个平面也可能相交，错误；d中的两个平面也有可能相交，错误．所以只有b正确．
2.解析：当异面直线互相垂直时满足条件的平面有1个，当异面直线互相不垂直时满足条件的平面有0个．故选b.
3.解析：如图，取b1c1的中点e，连接be，de，则ac∥a1c1∥de，则∠bde即为异面直线bd与ac所成的角．由条件可知bd＝de＝eb＝，所以∠bde＝60°，故选c.
4.解析：连接eg,b1g,b1f,则a1e∥b1g,故∠b1gf为异面直线a1e与gf所成的角。
由aa1=ab=2,ad=1可得b1g=,gf=,b1f=,所以b1f2=b1g2+gf2,所以∠b1gf=90°,即异面直线a1e与gf所成的角为90°.故选d.
5.答案 c构造正方体如图所示，连接ab，过点c作co⊥平面pab，垂足为o，易知o是正三角形abp的中心，连接po并延长交ab于d，于是∠cpo为直线pc与平面pab所成的角．设pc＝a，则pd＝，故po＝pd＝a，故cos∠cpo＝＝.故选c.
6.解析：a,b,c显然错误。因为pa⊥平面abc,所以∠adp是直线pd与平面abc所成的角。因为abcdef是正六边形，所以ad=2ab.
因为tan∠adp===1,所以直线pd与平面abc所成的角为45°.故选d.
取ac的中点f，连接bf，ef.在△acd中，e，f分别是ad，ac的中点，∴ef∥cd，∴∠bef即为所求异面直线be与cd所成的角(或其补角)．
在rt△eab中，∵ab＝1，ae＝ad＝，∴be＝.
在rt△aef中，∵af＝ac＝，ae＝，∴ef＝.
在rt△abf中，∵ab＝1，af＝，∴bf＝.
在等腰三角形ebf中，cos∠bef＝＝＝异面直线be与cd所成角的余弦值为。
8.解析：如图，分别取ac，a1c1的中点e，e′，连接ee′，be，b1e′，在平面bee′b1中作df⊥ee′，垂足为f，连接af.
易知平面bee′b1⊥平面acc1a1，所以df⊥平面acc1a1.
所以∠daf是ad与平面aa1c1c所成的角α.
由df＝be＝，ad＝.所以sin α＝答案：d
9. af连接ac，∵ab是⊙o的直径，c是圆周上不同于a，b的点，∴bc⊥ac，∵pa垂直于⊙o所在的平面，∴bc⊥pa，又pa∩ac＝a，∴bc⊥平面pac，af平面pac，∴af⊥bc，又af⊥pc，bc∩pc＝c，∴af⊥平面pbc.
10.解析：由题意，可知三条侧棱sa，sb，sc两两垂直．又三条侧棱相等，故可以三条侧棱为相邻三边作出一个正方体，其棱长均为2，其外接球的直径就是此正方体的体对角线，所以2r＝2×，即球的半径r＝3，所以球的表面积s＝4πr2＝36π.
11解析：(1)证明：如图所示，取cd的中点e，连接pe，em，ea.
△pcd为正三角形，∴pe⊥cd，pe＝pdsin∠pde＝2sin 60°＝.
平面pcd⊥平面abcd，∴pe⊥平面abcd，而a m平面abcd，∴pe⊥am.∵四边形abcd是矩形，△ade，△ecm，△abm均为直角三角形．
由勾股定理可求得em＝，am＝，ae＝3，∴em2＋am2＝ae2.∴am⊥em.
又pe∩em＝e，∴am⊥平面pem，∴am⊥pm.
2)由(1)可知em⊥am，pm⊥am，∴∠pme是二面角pamd的平面角．
tan∠pme＝＝＝1，∴∠pme＝45°.∴二面角pamd的大小为45°.
12.解 (1)证明：如图所示，取a1b1的中点d，连接de，bd，e是a1c1的中点，d是a1b1的中点，∴de綊b1c1.
又bc綊b1c1，bf＝bc，∴de∥bf.∴四边形bdef为平行四边形．∴bd∥ef，又bd平面aa1b1b，ef平面aa1b1b，∴ef∥平面aa1b1b.
2)如图所示，取ac的中点h，连接hf，eh，eh∥aa1，aa1⊥平面abc，eh⊥平面abc，∠efh就是ef与平面abc所成的角，在△abc中，h，f分别为ac，bc的中点，∴hf＝ab＝.
在直角三角形ehf中，fh＝，eh＝aa1＝3，tan∠efh＝，∠efh＝60°.故ef与平面abc所成的角为60°.
13.证明 (1)取ab的中点g，连接eg，fg，则eg∥bc，fg∥d1b，且eg∩fg＝g，eg，fg平面efg；d1b∩bc＝b，d1b，bc平面d1bc.∴平面efg∥平面d1bc，又ef平面efg，∴ef∥平面d1bc.
2)易证be⊥ea，平面d1ae⊥平面abce，平面d1ae∩平面abce＝ae，∴be⊥平面d1ae，且d1a平面d1ae，∴be⊥d1a.
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