已知：pa= √2
pb=4，以ab为一边作正方形abcd，使p、d两点落在直线ab的两侧．
1）如图，当∠apb=45°时，求ab及pd的长；
2）当∠apb变化，且其它条件不变时，求pd的最大值，及相应∠apb的大小．
考点：解直角三角形；正方形的性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：（1）作辅助线，过点a作ae⊥pb于点e，在rt△pae中，已知∠ape，ap的值，根据三角函数可将ae，pe的值求出，由pb的值，可求be的值，在rt△abe中，根据勾股定理可将ab的值求出；
求pd的值有两种解法，解法一：可将△pad绕点a顺时针旋转90°得到△p'ab，可得△pad≌△p'ab，求pd长即为求p′b的长，在rt△ap′p中，可将pp′的值求出，在rt△pp′b中，根据勾股定理可将p′b的值求出；
解法二：过点p作ab的平行线，与da的延长线交于f，交pb于g，在rt△aeg中，可求出ag，eg的长，进而可知pg的值，在rt△pfg中，可求出pf，在rt△pdf中，根据勾股定理可将pd的值求出；
2）将△pad绕点a顺时针旋转90°，得到△p'ab，pd的最大值即为p'b的最大值，故当p'、p、b三点共线时，p'b取得最大值，根据p'b=pp'+pb可求p'b的最大值，此时∠apb=180°-∠app'=135°．
点评：考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中要求学生充分发挥想象空间，确定p′b取得最大值时点p′的位置．
如图，e是abcd的边ad的中点，ce与ba的延长线交于点f，若∠fcd=∠d，则下列结论不成立的是（ ）
考点：平行四边形的性质．
分析：可证△aef≌△dec（aas或asa），由∠fcd=∠d得△dec、△aef都是等腰三角形．
故易判断c、d都成立；∠b=∠d=∠f，则cf=bc=ad．没有条件证明bf=cf．
解答：解：∵abcd是平行四边形，∴ad=bc，∠b=∠d，ab∥cd．
bf∥cd，∴∠f=∠fcd，∠fae=∠d．∵ae=ed，∴△aef≌△dec．∴af=cd，ef=ce．
∠fcd=∠d，∴ce=de．∴de=ef．故c、d都成立；∵∠b=∠d=∠f，则cf=bc=ad．故a成立．
没有条件证明bf=cf．故选b．
点评：此题考查了平行四边形的性质，即平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．
如图，以o为原点的直角坐标系中，a点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点b．p为线段ab上一动点，作直线pc⊥po，交直线x=1于点c．过p点作直线mn平行于x轴，交y轴于点m，交直线x=1于点n．
1）当点c在第一象限时，求证：△opm≌△pcn；
2）当点c在第一象限时，四边形pobc的面积为s，请判断s是否存在最大（或最小），若存在，求出其值，并判断此时△pbc的形状；
3）当点p**段ab上移动时，点c也随之在直线x=1上移动，△pbc是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△pbc成为等腰三角形的点p的坐标；如果不可能，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）根据∠opc=90°和同角的余角相等，我们可得出三角形opm和pcn中两组对应角相等，要证两三角形全等，必须有相等的边参与，已知了oa=ob，因此三角形oab是等腰直角三角形，那么三角形amp也是个等腰三角形，am=mp，oa=ob=mn，由此我们可得出om=pn，由此我们可得出两三角形全等．
2）知道了a的坐标，也就知道了oa、ob、mn的长，在直角三角形amp中，我们知道了ap为m，那么可用m表示出am、mp，也就能表示出om、bn，pn的长，那么可根据四边形opcb的面积=矩形的面积-三角形omp的面积-三角形pcn的面积，来求出s，m的函数关系式．然后根据二次函数的性质求得答案．
3）要分两种情况进行讨论：
当c在第一象限时，要想使pcb为等腰三角形，那么pc=cb，∠pbc=45°，因此此时p与a重合，那么p的坐标就是a的坐标．
当c在第四象限时，要想使pcb为等腰三角形，那么pb=bc，在等腰直角三角形pbn中，我们可以用m表示出bp的长，也就表示出了bc的长，然后根据（1）中的全等三角形，可得出mp=nc，那么可用这两个含未知数m的式子得出关于m的方程来求出m的值．那么也就求出了pm、om的长，也就得出了p点的坐标．
解答：（1）证明：∵om∥bn，mn∥ob，∠aob=90°，四边形obnm为矩形，∴mn=ob=1，∠pmo=∠cnp=90°，∵oa=ob，∴∠1=∠3=45°，∵mn∥ob
∠2=∠3=45°，∴1=∠2=45°，∴am=pm，∴om=oa-am=1-am，pn=mn-pm=1-pm，∴om=pn，∠opc=90°，∴4+∠5=90°，又∵∠4+∠6=90°，∴5=∠6，∴△opm≌△pcn；
点评：本题考查了全等三角形的判定及等腰三角形的性质；此题的设计比较精巧，将几何知识放在坐标系中进行考查，第1题运用相似形等几何知识不难得证，第2小题需利用第1小问的结论来建立函数解析式，第3小题需分类讨论，不要漏解，运用方程思想可以得到答案，分类讨论是正确解答本题的关键．
2006济宁）（-8）2006+（-8）2005能被下列数整除的是（ ）
考点：因式分解的应用．
解答：解：（-8）2006+（-8）2005，=（8）（-8）2005+（-8）2005，=（8+1）（-8）2005，=-7×（-8）2005
7×82005．所以能被7整除．故选c．
点评：本题考查提公因式法分解因式，关键在于提取公因式，然后再对所剩的因数进行计算．
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