第一章（2023年2月24日）
4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变。试构造模型并求解。
解：设椅子四脚连线呈长方形abcd. ab与cd的对称轴为轴，用中心点的转角表示椅子的位置。
将相邻两脚a、b与地面距离之和记为；c、d与地面距离之和记为。并旋转。于是，设就得到。
数学模型：设是上的非负连续函数。若，有，且，则，使。
模型求解：令。就有。再由的连续性，得到是一个连续函数。 从而是上的连续函数。由连续函数的介值定理：,使。即，使。
又因为，有。故。
8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻的人口为，单位时间内人口的增量与成正比（其中为最大容量）.试建立模型并求解。作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较。
解：现考察某地区的人口数，记时刻的人口数为（一般是很大的整数）,且设为连续可微函数。又设。
任给时刻及时间增量，因为单位时间内人口增长量与成正比， 假设其比例系数为常数。则到内人口的增量为：
两边除以，并令，得到。
解为。如图实线所示，
指数模型 当充分大时。
它与logistic模型相近。
logistic模型。
ot 9．为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面。
或反面思考。试尽可能迅速回答下面问题：
1） 某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿。
次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经。
过路径中的同一地点。为什么？
2） 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛**场的每两支球队中的胜者及轮空者。
进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛。如果是支球队比赛呢？
3） 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻。
不一定相同。甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？
4） 某人家住t市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达t市车站，他的。
妻子驾车准时到车站接他回家，一日他提前下班搭早一班火车于5：30抵t市车站，随即步行回家，他的妻子象往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常。
提前了10分钟。问他步行了多长时间？
5） 一男孩和一女孩分别在离家2 km和1 km且方向相反的两所学校上学，每天。
同时放学后分别以4 km/h和2 km/h的速度步行回家。一小狗以6 km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多少路程？
如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处？
解：（1）方法一：以时间为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程为纵坐标，第一天的行程可用曲线（）表示 ，第二天的行程可用曲线（）表示，（）是连续曲线必有交点，两天都在时刻经过地点x
d方法二：设想有两个人。
一人上山，一人下山，同一天同
时出发，沿同一路径，必定相遇。
t 早8晚5
方法三：我们以山下旅店为始点记路程，设从山下旅店到山顶的路程函数为(即t时刻走的路程为),同样设从山顶到山下旅店的路函数为，并设山下旅店到山顶的距离为(>0).由题意知：
,令，则有，，由于，都是时间t的连续函数，因此也是时间t的连续函数，由连续函数的介值定理， ,使，即。
2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮。队需赛场，若，则需赛轮。
3）不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是8：00，8：10，8：20，……
那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是8：09，8：19，8：29……
4）步行了25分钟。设想他的妻子驾车遇到他后，先带他前往车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车多跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻应该是5：
55.5）放学时小狗奔跑了3 km.孩子上学到学校时小狗的位置不定（可在任何位置），因为设想放学时小狗在任何位置开始跑，都会与孩子同时到家。之所以出现位置不定的结果，是由于上学时小狗初始跑动的那一瞬间，方向无法确定。
10. 某人第一天上午9：00从甲地出发，于下午6：
00到达乙地。第二天上午9：00他又从乙地出发按原路返回，下午6：
00回到甲地。试说明途中存在一点，此人在两天中同一时间到达该处。若第二天此人是下午4：
00回到甲地，结论将如何？
答：（方法一）我们以甲地为始点记路程，设从甲地到乙地的路程函数为(即t时刻走的路程为),同样设从乙地到甲地的路函数为，并设甲地到乙地的距离为(>0).由题意知： ,令。
则有，由于，都是时间t的连续函数，因此也是时间t的连续函数，由连续函数的介值定理， ,使，即。 若第二天此人是下午4：00回到甲地，则结论仍然正确，这是因为，.
方法二）此题可以不用建模的方法，而变换角度考虑：设想有两个人，一人从甲地到乙地，另一人从乙地到甲地，同一天同时出发，沿同一路径，必定相遇。若第二天此人是下午4：
00回到甲地，则结论仍然正确。
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