例1．以线段ab为直径作一个半圆，圆心为o，c是半圆周上的点，且oc2＝ac·bc，则∠cab＝__
2024年全国初中数学联赛试题）
分析：代入已知条件，有。
与ab2＝ac2＋bc2
联立，可推出。
而式①、③表明，ab、ac是二次方程。
以上为解题运用了函数思想，这也是我看到这道题首先想到的解题思路，这是对解决数学题的一种条件反射，看到这道题，就马上拿笔去算，没有感受到几何题的趣味，而且这种算法，引入了方程，通过解方程求根，而得到角度，这样再解的过程很容易出错，并不是很好的方法。于是我又仔细研究这道题，思考这个图形，我的思路有些豁然开朗的感觉。由此，我想出了另一种方法来解决这道题。
如下：经过仔细的推敲这道题，我发现，第二种的方法明显简单与第一种方法，同样一道题，总是有不同的方法可以解决，所以，看问题不能只拘泥于一种方法，，从不同的角度看这个问题会有不一样的发现。一个问题看似简单，其实那简单中包含着巨大的能量，就是因为这样简单的题，从而启发了我，去解决更难更复杂的题，一切都是从简单开始的，没有简单的知识，也无法理解更难的知识，只有把根底扎实，才能把事实联会贯通，从而解决难题。
例2、设ab是⊙o的一条弦，cd是⊙o的直径，且与弦ab相交，记m＝｜s△cab－s△dab｜，n＝2s△oab，则。
a．m＞n b．m＝n c．m＜n d．m、n的大小关系不确定。
2024年全国初中数学联赛试题)
分析：这道题的图，明显比上一题的图复杂许多，这里就需要掌握圆三角形的知识。看到这道题，首先它是道选择题，这就是说在不会的情况下，对的几率是，结合图，观察加猜想，我会选b。
具体分析，其实这道题并不难，像这种题通常需要引入辅助线，通过线段相等，找面积相等。这里引入那条辅助线，是解题的关键，有些人看到这道题，直觉就知道怎么画辅助线；可是有很多人无法一眼就看出，这时就会很焦躁，从而使题变得很复杂，很难，这就需要平时常做题，培养数学敏感度，还有就是，遇到问题要多思考，培养头脑的灵活度，这样考虑问题时就会很轻松。由此，我想出了第一种方法。
也是大家最容易理解的方法，需要掌握的知识点也不多。
法一：（通法）
即m=n （选b）
法二： 若过c、d、o分别作ab的垂线（图3），ce⊥ab、df⊥ab、ol⊥ab，垂足分别为e、f、l．连cf、de，可得梯形cedf．又由垂径分弦定理，知l是ef的中点．根据：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有。
两边同时乘以，得。
即m=n （选b）
这种方法，快捷简便，对于知识点掌握得很灵活，可以会开看出答案，可是并不是所有人都可以的，至少，我不会先想到，引入的辅助线越多，解题越容易，可是这要求对这部分知识掌握非常好，可以灵活运用，对图形敏感度非常好，才能做到。
通过竞赛数学的学习，了解了很多竞赛题，虽然谈不上掌握，但也基本了解了竞赛思想，人脑的潜力是无限的，通过普通的教学，对有些头脑灵活的同学太过乏味，没有挑战，当然，学校教育是要照顾到所有同学的，但是确实很枯燥，仅仅是为了分数而学习，为了解题而解题，从而让学生的脑变得懒惰，不再灵活思考，仅仅在死学知识，数学竞赛，就为学生们创造了一个思维活跃的平台，竞赛题，不再是老师教的“这道题就用这种方法”，而是，灵活的题型，让学生自己主动思考方法，对知识点的灵活运用，是学生自主学习，分析，总结。从而在其中找到乐趣，思维更加活跃，学习更加自主，因为有不会的，就想解决它，不断迎接挑战，从而，提高数学能力。
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