全国初中数学竞赛试题分类：数论。
1、（2001）如果是三个任意整数，那么【 】
a）都不是整数 （b）至少有两个整数 （c）至少有一个整数 （d）都是整数。
2、（2002）如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x 的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？
3、（2005）从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数，，（都有。
4、（2006）已知05、（2007）已知对于任意正整数，都有，则
6、（2007）（1）是否存在正整数m，n，使得？
2）设是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得？
7、（2008）从1，2，…，9中任取 n 个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求 n 的最小值．
8、（2009）已知正整数满足，且，求满足条件的所有可能的正整数的和．
9、（2009）n个正整数满足如下条件：；且中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
10、（2010）在一列数……中，已知，且当k≥2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于【 】
a) 1b) 2c) 3d) 4
11、（2010）对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为。
12、（2010）求满足的所有素数p和正整数m.
13、（2010）从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
14、试确定一切有理数使得关于的方程有根且只有整数根。
15、已知，并且，则等于 .（其中表示不超过的最大整数）
16、设为不超过的最大整数，求方程的解。
17.求证：
1）一个自然数的平方被7除的余数只能是0,1,4,2.
2）对任意的正整数，不被7整除，其中表示不超过的最大整数。
18、求关于a，b，c，d的方程组的所有正整数解。
19.求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且。
20、设p，q均为自然数，且， 求证：29|p．
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