利用导数证明不等式。
知识梳理。1、几种常见函数的导数。
2、函数的单调性。
在某个区间（a,b）内如果， 那么函数在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数在这个区间内单调递减。
3、函数的极值。
1）设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有则是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作。极大值与极小值统称为极值。
2）判断是极值的方法。
一般地，当函数在处连续时，a）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
b）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值。
（3）函数在一点的导数为0是函数在这取极值的必要非充分条件。
4、函数的最值。
1）在闭区间[a,b]上连续的函数在[a,b]上必有最大值与最小值；
（2）设函数在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，先求在（a,b)内的极值；将的各极值与、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
例题精讲。例1、（2024年课标全国ⅱ第21题）已知函数。
1）设是的极值点，求，并讨论的单调性。
2）当时，证明。
分析：（1）根据函数在某点取到极值，得出该函数在该点的导数为0，再利用函数的导数在该函数的定义域内与0比较大小，再求出该函数在其定义域内的单调性。
2）构造函数，转化证明，再求函数的单调区间，判断区间端点处的函数值与0的关系，最后判断定义域内与0的大小关系。
证明：(1).
由是的极值点得，所以。
于是，定义域，.
函数在上单调递增，且，因此当时，，当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增。
2）当，时，，故只需证时，.
当时，函数在上单调递增。
又当，，故在有唯一实数根， 且。
当时，；当时，，从而当时，取得最小值。
由得，，故 .
综上，当时，.
点评：本题考查的重点是利用导数证明不等式的思想，即构造一个新的函数，将原题要证的转化证这个新函数在其定义域里与0的大小关系即。
练习1（2024年课标ⅰ第21题）设函数，曲线在点处的切线方程为。
1）求a,b;
(2)证明：
分析：（1）由在点处的切线方程，可知在该点函数的导数值为e且该点在切线方程上。注意该函数的定义域。
2）由（1）可函数化成没有参数的方程，可构造两个函数，转化比较这两个函数的最大值与最小值即可。
解（1）：函数的定义域为，.
由题意可得，，.
故a=1,b=2.
2)证明：由（1）知，，从而等价于。
设函数，则。
所以当时，；当时，.
故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为。
设函数，则。
所以当时；当时，.
故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为。
综上，当时，，即。x
点评：本题考查的重点是利用导数证明不等式的思想，而它与例1不同的是函数比1大，1也是个很特别的数，可构造出两个新的函数，将原题要证的转化证这两个新函数在其定义域里比较大小。那只需证较大的函数的最小值比较小函数的最大值还大即可。
利用导数求函数在其定义域的最值得方法来求。
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