选修课作业。
1、求值。解：
2、证明： (范德蒙公式)
证：若是直接去证明上式，则是非常麻烦的，我们可以另辟捷径，我们不妨考察多项式的项的系数。
1） 将上式分别展开，再相乘，得项的系数。
2）将上式合并后在展开，得项的系数。
如此，便可以证明上式了。
3、已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=的最小值。
解：设a≤b≤c,令f(a,b,c)=1/(a+b) +1/(b+c) +1/(c+a)
则 f(0,a+b,1/(a+b))=1/(a+b) +1/[(a+b) +1/(a+b)] a+b
那么。f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))=1/(a+c) +1/(b+c) -a+b) -1/[(a+b) +1/(a+b)] 1)
又因为ab+bc+ca=1,所以c=(1-ab)/(a+b) (2)
把(2)代入(1)得。
f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))=a+b)/(a^2+1) +a+b)/(b^2+1) -a+b)-(a+b)/[a+b)^2+1]
=(a+b)[1/(a^2+1) +1/(b^2+1) -1- 1/((a+b)^2+1)]
=(a+b)[2ab-2a^2b^2-a^2b^2(a+b)^2] (全部通分可得)
=(a+b)[2ab(1-ab)-a^2b^2(a+b)^2]
=(a+b)[2ab(a+b)c-a^2b^2(a+b)^2] 因为1-ab=ac+bc=(a+b)c
(a+b)ab(a+b)[2c-ab(a+b)]
=ab(a+b)^2[2c-ab(a+b)]
0≤a≤b≤c≤1
所以0≤a+b≤2,ab≤ac≤c(因为a≤1),从而ab≤c
所以ab(a+b)≤2c
所以2c-ab(a+b)≥0
从而f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))≥0
所以f(a,b,c)≥f(0,a+b,1/(a+b))
而f(0,a+b,1/(a+b))=1/(a+b) +1/[(a+b) +1/(a+b)] a+b
[1+(a+b)^2]/(a+b) +a+b)/[1+(a+b)^2]
1+(a+b)^2]/(a+b)=1/(a+b) +a+b)≥2
而f(x)=x + 1/x在[√2,+∞上单调递增，所以。
f(0,a+b,1/(a+b))=1+(a+b)^2]/(a+b) +a+b)/[1+(a+b)^2]≥2 + 1/2=5/2
(把上面的[1+(a+b)^2]/(a+b)当作f(x)中的x即可)
所以f(a,b,c)≥f(0,a+b,1/(a+b))≥5/2
即证。4、求2999最后两位数码。
解：分析得2的一次后两位是方是02，二次方是04，三次方是08，四次是16，五次是32，六次是64，先看最后一位循环，则易推出999次方最后一位是8。在看后二位…七次方是28…十一次方是48…十五次方是68…十九次方是88…二十三次方是08以此类推，倒数第二位为0，2，4，6，8循环四位一循环）=244…3则最后一位是五位一循环）=48…4，则倒数第二位是8，所以就是88了。
5、设72整除a679b试求a,b的值。
解：因为 72=8*9
所以a679b能被8和9整除。
被8整除即后三位能被8整除。
所以b只能是2
即得a6792
又因为a6792被9整除，则a+6+7+9+2=a+24能被9整除。
所以a=3所以是36792
6、把1到10的自然数摆成一个圆圈，证明一定存在三个相邻的数，它们的和数大于17.
解：设十个数按顺序为a1,a2,a3,..a10 设相邻三个数的和b1=a1+a2+a3,b2=a2+a3+a4,..b9=a9+a10+a1,b10=a10+a1+a2
则b1+b2+..b10=3(a1+a2+..a10)=165 则必存在某一个b，该b不小于16.
5，如果每个b都不大于16.5，他们的和就不会是165了又因为b是整数，所以这个b不小于17
过圆外点p作圆的两条切线和一条割线，切点为a,b。所作割线交圆于c、d两点，c在p、d之间，在弦cd上取一点q，使角daq等于角pbc，求证：角dbq等于角pac。
证：角daq=角pbc=角bdc=角bac，且角adq=角adc，所以三角形adq相似于三角形abc，所以。
ad：ab=dq：bc (1)
而ad：ac=bd：bc，即bd：ad=bc：ac (2)
(1)*(2)得bd：ab=dq：ac，且角bdq=角bac，所以三角形bdq相似于三角形bac，即有。
角dbq=角abc=角pac。
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选修课作业
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选修课作业
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