2.5可逆矩阵与逆矩阵
可逆矩阵的定义：对矩阵a，如果存在一个矩阵b，使得ab＝ba＝i
则称矩阵a为可逆矩阵，并称b为a的逆矩阵，记为b＝a－1。
由定义，a a －1= a －1a =i. 对于n阶矩阵a、b，若 ab＝i
则 a、b均为可逆矩阵，并且a －1＝b，b －1=a .（即a、b互为逆矩阵）
注：（1）、可逆矩阵一定是方阵； （2）、可逆矩阵a的逆矩阵是唯一的。
3）、因为ii=i，故i是可逆矩阵，且i －1=i。 （4）、因为对任何矩阵b，ob=bo=o，故零矩阵不是可逆矩阵。
可逆矩阵的性质：（设a、b都是可逆矩阵）
1）（a－1）－1=a （2）（ab）－1=b－1a－1
可推广为（abc）－1=c－1b－1a－1） （3）（at）－1=（a －1）t
矩阵的初等行变换：是指对矩阵进行下列三种变换：(1)对换变换： 互换矩阵某两行的位置 ，记为：（
2)倍乘变换： 用非0常数k遍乘矩阵的某一行， 记为：×k；
3) 倍加变换： 将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行， 记为：＋×k。
由矩阵a经过初等行变换得到矩阵b，一般记为a→b。 如。
阶梯形矩阵零行：矩阵中元素全为零的行； 非零行：至少有一个非零元素的行；
首非零元：非零行中从左到右的第一个非o元素。 阶梯形矩阵：满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵（简称阶梯阵）：
1) 各个非零行的首非零元的列标随着行标的递增而严格增大； (2) 如果矩阵有零行，零行在矩阵的最下方。
例都是阶梯形矩阵。
都不是阶梯形矩阵。
例1：1 a=
a的阶梯形矩阵）
b=（b的阶梯形矩阵）
或b=（b的阶梯形矩阵） （b的阶梯形矩阵不唯一，但其非零行的行数一样）
结论： 任何一个矩阵a经过若干次初等行变换都可以化为阶梯形矩阵（但a的阶梯形矩阵不唯一）。
2、 矩阵的秩定义 ：矩阵a的阶梯形矩阵中非零行的行数，称为矩阵a的秩。记为秩(a)或r(a)。
由例1，a=，故秩(a)=2； b=，故秩(b)=3
或b=，秩(b)=3
例2 求矩阵a=的秩。（p86）
解 a= 故秩(a)=2。 【零矩阵的秩为0。】
定义：若n阶矩阵a的秩r(a)=n，则称a为滿秩矩阵。 定理2.11（p87）：设a为m×n矩阵，则r(a)=r(at)。
3、可逆矩阵的判定和逆矩阵的求法（一）可逆矩阵的判定：
1、n阶方阵a是可逆矩阵的充分必要条件是：a的秩r(a)=n（即a为滿秩矩阵）。
2、a是可逆矩阵的充分必要条件是：a通过初等行变换可化为单位矩阵。
例 a=秩(a)=2又b=
二）逆矩阵的求法： 求逆矩阵的初等行变换法是：
例3 设矩阵。
解：在矩阵a的右边拼上同阶单位矩阵i，得：
左边三列已化为单位矩阵，右边三列即为逆矩阵，故。
例4 设a=，求a－1。
解：a 为二阶矩阵在其右边拼上一个二阶单位矩阵，得(a i)
故a－1=例5 设，求：
解：计算矩阵abt：
abt为二阶矩阵，在其右边拼上一个二阶单位矩阵，得：
故 例6 设矩阵，，求．
解因为=＝，所以
例7：设矩阵。解：故。
例8：设a=，问a－1存在吗？ 解：
因为左边矩阵a经过初等行变换出现了零行，r(a)=2<3,所以矩阵a不是可逆矩阵。
初等行变换求逆矩阵的过程：以a为三阶矩阵为例，一般是：先将第一列化为，再化第二列为，最后化第三列为，这实质是将 (a i) 化为行简化阶梯形矩阵，这样右半部分便是逆矩阵。
4、解矩阵方程。
1） 对矩阵方程ax=b，若a可逆，则x=a－1b；
2） 对矩阵方程xa=b，若a可逆，则x= b a－1。
例9 解矩阵方程。
解 (方程为ax=b，若a可逆，则x=a－1b)
因为（a i）=
所以a－1= x= a－1b==
例10 解矩阵方程。
解：方程化为， 即
方程为ax=b，若a可逆，则x=a－1b)
因为（a i）=
所以a－1== x= a－1b==。
例11 a= b=，求解xa=b。
解 (方程为xa=b，若a可逆，则x= b a－1)
因为（a i）=
所以a－1=
x= b a－1==
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