一）填空题。
1.函数的定义域为
解：要使有意义，则要求，解不等式组得：，因此，定义域为。
2. 函数的驻点是，极值点是 ，它是极值点。
解： =令得：
因此，所求驻点是，极值点是，它是极小值点。
3.设某商品的需求函数为，则需求弹性。
解：有弹性公式=。
4.若线性方程组有非零解，则。
解：系数矩阵。
当方程有非零解，则（未知量个数），则。
5. 设线性方程组，且，则时，方程组有唯一解。
解：要使线性方程组有唯一解，则要求（方程未知量个数），因此，当时，，方程组有唯一解。
二）单项选择题。
1. 下列函数在指定区间上单调增加的是。
a．sinx b．e xc．x 2d．3 – x
解：函数sinx ， e x ， x 2均为基本初等函数，由它们的性质知：
函数e x在区间上是单调增加。
该题正确答案为：b．
2. 设，则（ ）
abcd．
解：因为，则，该题正确答案为：c．
3. 下列积分计算正确的是。
ab． cd．
解：注意到：定积分，1）当为奇函数时，则；
2）当为偶函数时，则。
答案a中设， =因此，该题正确答案为：a．
4. 设线性方程组有无穷多解的充分必要条件是（ ）
a． b． c． d．
解：该题正确答案为：d．
5. 设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是。
ab． cd．
解： 方程组有解的充分必要条件是：，即，即，该题正确答案为：c．
三、解答题。
1．求解下列可分离变量的微分方程：
解：原方程变形为：
方程两边积分得：
即为方程通解 .
解：原方程变形为：
方程两边积分得：
即为方程通解 .
2. 求解下列一阶线性微分方程：
解：由一阶线性微分方程通解公式：
得原方程通解：
解：由一阶线性微分方程通解公式：
得原方程通解：
3.求解下列微分方程的初值问题：
1),解：原方程变形为：
方程两边积分得：
即为方程通解
将代人通解得：则。
因此，原方程特解为：
解：原方程变形为：
由一阶线性微分方程通解公式：
得方程通解：
将代人通解得：，则。
原方程特解为：
4.求解下列线性方程组的一般解：
解： 所以，方程的一般解为。
其中是自由未知量）
解： 一般解：（其中是自由未知量）
5.当为何值时，线性方程组。
有解，并求一般解。
解： 当时，，方程有无穷多解 .
方程的一般解为：（其中是自由未知量）
5．为何值时，方程组。
解： 当且时，方程组无解；
当时，方程组有唯一解；
当且时，方程组无穷多解。
6．求解下列经济应用问题：
1）设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：①当时的总成本、平均成本和边际成本；
当产量为多少时，平均成本最小？
解：①（万元）；
（万元/单位）；
（万元/单位） .
平均成本：，
令得唯一驻点。
因此，当产量为20个单位时可使平均成本达到最低。
2）.某厂生产某种产品件时的总成本函数为（元），单位销售**为（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少．
解：收入函数。
利润函数=令得唯一驻点。
因此，当产量为250个单位时可使利润达到最大，且最大利润为：
元）。3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为(万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低．
解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为。
（万元） 总成本函数
平均成本：
令得唯一驻点。
因此，当产量为6百台时，平均成本达到最低。
4）已知某产品的边际成本=2（元/件），固定成本为0，边际收益。
求：①产量为多少时利润最大？
在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
解：①边际利润。
令得唯一驻点，因此，当产量为500件时，利润最大。
在最大利润产量的基础上再生产50件，利润增量
即利润将减少25元。
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