矩阵的概念：由m×n个数aij（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n）排成一个m行n列，并括以方括号（或圆括号）的数表。
称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵，通常用大写字母a，b，c，… 表示。如。
a=或am×n=,或a=（aij）m×n aij称为矩阵第i行第j列的元素。
如 a=是个3×4矩阵，且a33=－2，a21= ,a13= 。
行矩阵：只有一行的矩阵。即 [a11 a12 … a1n] 列矩阵：只有一列的矩阵。即。
n阶矩阵(或n阶方阵): 行、列数相同的矩阵。即。
n阶矩阵可记作a n.
如a=为4阶的矩阵。
主对角线：n阶矩阵中从左上角到右下角的对角线。
零矩阵：所有元素都为零的矩阵。记作om×n 或o。
如0=02= 0=02×3=
同型矩阵：矩阵 a与b的行数、列数都相等，则称a与b是同型矩阵。
如a=与b=是同型矩阵。
负矩阵：在矩阵a中每个元素的前面都添加一个负号得到的矩阵称为a的负矩阵，记作－a，即。
a=单位矩阵：主对角线上元素全为1，其余元素均为0的方阵，称为单位矩阵，记为in或 i，即。
in＝ 二阶单位矩阵i2=、三阶单位矩阵i3=。
零矩阵和单位矩阵是两个非常重要的矩阵，它们在矩阵运算中将起到类似于数字运算中0和1的作用。
矩阵的相等。
若矩阵a=[aij]s×p , b=[bij]r×q满足： （1）行数、列数分别相同，即s=r，p=q；
2) 所有对应元素相等，即aij= bij（i=1,2,…，s;j=1,2,…，则称矩阵a与b相等，记作：a=b
例1 若a=，b=
矩阵的加减法若矩阵a与b是同型矩阵，且。
则ab＝c，其中 c＝
注：只有同形矩阵才能做加减法。
例2 设a=，b=，求a+b 和a－b。
解 a+b=+=
a－b=－=
加法的运算规律：a+b=b+a （交换律） (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c （结合律）
且有 a－b=a+(－ba－a=0 , a+0=a
矩阵的数量乘法设矩阵a＝[aij]m×n， 是任意常数，则。
例3 设a=，求3a。 解 3a=3 =
数量乘法的运算规律： 数对矩阵的分配律 k(a+b)=ka+kb
矩阵对数的分配律 (k+h)a=ka+ha 结合律 (kh)a=k(ha)
数1与矩阵满足 1a=a (－1)a=－a
矩阵 ki=k=称为数量矩阵。
例4 求矩阵x，使。解：
矩阵乘法设a＝[aij] 是一个m×s矩阵，b＝[bij] 是一个s×n矩阵，即。
则称m×n矩阵c＝[cij] 为a与b的乘积，记为 c＝ab，其中（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n）。即。
矩阵乘法规则； ①am×sbs×n=cm×n ②按行乘列法则运算。
由例8可见，①ab≠ba ②a≠0，b≠0，但ba=0 ③ab=ac，且a≠0，但b≠c
矩阵乘法有几点要注意： 1）矩阵乘法一般不满**换律，即不一定有ab=ba；
定义：如果两个矩阵a与b满足ab=ba，那么称矩阵a与b是可交换的。
2）若ab=0，一般不能推出a=0或b=0；
3）矩阵乘法的消去律不成立，即若ab=ac，即使a≠0，也不一定有b=c。
矩阵乘法的运算规律： （1）结合律 (ab)c=a(bc)=abc
2) 数乘结合律 (ab) =b=a（ b）
3）分配律： 左分配律 a(b+c)= ab+ac 右分配律 （b+c)a=ba+ca
结论：在可以进行运算的前提下，有。
a+0=0+a= a，a0=0，0a=0，ia=a，ai=a， am=am-1a=aa…a
am称为方阵a的m次幂。 规定：a0=i
对非零方阵a，有 （ak）(al)=ak+l , ak）l=akl 但 （ab）k≠akbk
矩阵的转置运算矩阵转置：把一个m×n矩阵am×n＝的行、列互换得到的n×m矩阵，称为a的转置矩阵，记为at，即。
atn×m＝ 矩阵转置的运算规律： （1）（at）t=a （2）（a+b）t=at+bt
3）（ab）t=btat （4）（ka）t=kat （k为实数）
3)可以推广到多个矩阵乘积的转置，如 （abc）t=ctbtat
例9 设a= ，b=，求at，bt，ab，btat。
解 at= =bt== ab==
btat =（ab）t=
特殊矩阵1、对角矩阵：主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵，例1 设a= b= 则a+b=+=2a=2=
ab===ba at==a
2、三角矩阵： 上三角矩阵下三角矩阵
3、对称矩阵：若矩阵a满足at=a，则称a为对称矩阵。
如a= ，b=
由定义，若矩阵a=（aij）为对称矩阵，则a一定是方阵，且对任意i和j有aij=aji。
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