第4章 （之5）
第23次作业。
教学内容：§4 .4 .5函数图形的的描绘 §4.5 相关变化率
*1. 曲线的渐近线的条数为。
a） 2条； （b）3条； （c）4条； （d）5条。
答：（c）2．画出下列函数的图形。
解：的定义域为，且为奇函数。, 令，可知为驻点。
令，拐点为，.
又， 有水平渐近线。如图示：
解：， 为垂直渐近线1 1
3* 求曲线的斜渐近线。
解：时，时，所以斜渐近线有两条和 .
4* 求曲线的斜渐近线。
解：等价于， ，所以斜渐近线为 .
*5．设球的体积以常数速率变化，证明，其表面积的变化速率与半径成反比。
证：。，对两边求导，.
对两边求导，.
*6. 一小球从坐标原点出发， 沿着曲线
往下滚， 已知其铅直速度为常数， 求它在任一点处的运动速度与运动方向。
解： 由 , 可得 , 所以。
所以运动速度为。
而运动方向为。
注意： 这里常数必定是一个负数。
**7. 水从底半径为高为开口向上的圆锥形漏斗底部小孔流出。 设底部小孔面积为，当漏斗内水面高度为时， 水从底部小孔流出的速度为
求液面高度为时， 液面高度降低的速度。
解： 因为 ,
而由可得 ,所以有 .
***8．设在的某邻域内具有阶连续导数，且，而。试证明：
当为奇数时，则点必是曲线的拐点；
当为偶数时，则点不是曲线的拐点。
证：在的某邻域内具有阶连续导数，由阶泰勒公式，，在与之间。
不妨设，根据连续函数的局部保号性定理，可知存在点的某个邻域，当在该邻域内时总有有。 由于在与之间，可知也必然在该邻域内，所以有。 于是。
为奇数时，只要，就有。
当时，是曲线的拐点。
当为偶数时，只要，就有。
不是曲线的拐点。
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