第7章第1节向量及其线性运算。
1．求在面上与三个已知点、、等距离的点。
解：设为面上所求的点，则。
解得， 故所求点为。
2．写出向量的坐标、模和方向余弦。
解。3． 已知向量的模为，且已知它与轴和轴的夹角均为，求的坐标表示式。
解：设与同向的单位向量为，其中。故。
。于是==。
4． 设向量的模为，它与轴的夹角为，求在轴上的投影。
解： 5． 已知三点、、，为线段的中点，求与平行的单位向量。
解：设点，则，，，故d点的坐标为（2，1，3），。
第2节数量积向量积。
1．已知两两垂直，且，,，求的模和它与向量的夹角。
解： =因，，。且。因此， =
2．向量与构成夹角，且，，求。解： =
3．设，，求：（1）与同方向的单位向量； （2）；
3）； 4）与的夹角。
解：(1)，故与同方向的单位向量为。
(4) =故。
4．已知，与的夹角，求（1）； 2）。
解： 1． =
5．设，求（1）的条件；（2）的条件。
解：（1）。因，故。于是；
（2）由，则，故。
6．已知三角形的顶点，求的面积。
解：由于，， 所以。
7．已知为单位向量，且满足，计算：。
解：注意到。另一方面。
因此。8．设为任意向量，试用向量的数量积证明不等式。证： =
故。第5节平面及其方程。
1． 求过点且与平面平行的平面方程是。
2．欲使平面，(1)与平面垂直，则；
2)与平面成45角，则。
3．点到平面的距离。
4．求过点和三点的平面方程。
解：, n===所求平面为。
即。5．求过点且垂直于平面和的平面方程。
解：所求平面的法向量。
=，故所求平面方程为即。
6．已知平面通过两平面和的交线，且与第一平面垂直，求的方程。
解：设过交线的平面方程为，即。
因与平面垂直的条件为得。故所求平面的方程为。
7．一平面通过两平面和的交线，且通过点，求此平面方程。
解：过交线的平面方程为。因平面过点（1，8，2），代入得。
故所求平面方程为。
8．求与平面平行且与三坐标面所构成的四面体体积为的平面方程。
解：设该平面方程为，其中为待定常数。化为截距型有。由此。
求得两平面分别为与。
9．求通过点和且与平面垂直的平面方程。
解：。平面的法向量是。
所求平面法向量。
所求平面为(x-1)-(y-1)=0，即。
第6节直线及其方程。
1． 下列各组中的直线与平面的关系分别是。
1)和平行；
2)和垂直；
3)和在平面上。
2． 直线和平面间的夹角。
3． 过点且平行于直线的直线方程是。
4． 求过点且与直线垂直的平面方程。
解：直线的方向向量。所求平面的法向量。故平面方程为。
5． 求过点且通过直线的平面方程。
解：化直线为一般式。则过直线的平面方程束为。
把点代入并解出。因而所求平面为。
6． 求点到直线的距离。
解：过点作垂直于直线的平面。即。求它与直线的交点。即把代入平面方程得。 交点为，故所求距离为=。
7． 确定使直线垂直于平面，并求该直线在平面上的投影直线的方程。
解：设，。由直线与平面垂直可得，故=1。设过直线的平面方程为，即。由于它与已知平面垂直，故。于是所设平面为。所求投影直线的方程为。
8．求点n（-1，2，0）在平面上的投影。
解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，并将它代入平面方程得。
故点在平面上的投影为。
9．已知一直线过点且平行于平面，又该直线与直线相交，求此直线方程。
解：设两直线交点为。因m在已知直线上有。向量与平面。
平行，故，即。
因此交点为。所求直线的方向向量为，所求直线为。
10．求两平行直线与之间的距离。
解：已知为直线上的点，过m且与l1垂直的平面的方程是：(x-1)+2(y+1)+2z=0。
设点为平面与直线上的交点，则，且。
解得，点。，所以两条直线之间的距离。
高等数学作业题答案 1
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