§1.4 充分条件与必要条件。
决策指导。高效精讲·知识备考。
充分条件、必要条件、充分必要条件。
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来说明命题的条件和结论之间的关系。
1）从逻辑推理关系上看。
若pq且q/ p，则p是q的充分而不必要条件。
若qp，但p/ q，则p是q的必要而不充分条件。
若pq且qp（或pq且┐p┐q）,则p是q的充要条件。
若p/ q且q/ p，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件。
对充要条件的理解和判断，要搞清楚其定义实质：若pq，则p是q的充分条件，所谓“充分”即使q成立，有p成立足够了；若p q，则p是q的必要条件。缺一不可！
2）从集合与集合之间关系上看。
若ab，则a是b的充分条件。
若ab，则a是b的必要条件。
若a=b，则a是b的充要条件。
若ab且ba，则a既不是b的充分条件，也不是b的必要条件。
应用充分条件、必要条件、充要条件时须注意的问题。
1）充分而不必要条件，必要而不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点：
确定条件是什么，结论是什么。
尝试从条件推结论，从结论推条件。
确定条件是结论的什么条件。
要证明命题的条件是充要的，既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性。
2)对于充要条件，要熟悉它的同义词语。
在解题时常常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”、“必须且只需”、“等价于”、“反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言，对理解和把握数学知识是十分重要的。
考点精练。自主**·基础备考。
1.(2009·天津)设x∈r，则“x=1”是“x3=x”的( )
a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件。
c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件。
解析：若“x=1”，则显然“x3=x”成立；若“x3=x”，则“x=0或±1”，“x=1”不一定成立，故“x=1”是“x3=x”的充分而不必要条件。
答案：a2.(2009·浙江)已知a、b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的( )
a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件。
c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件。
解析：若“a＞0且b＞0”，则显然“a+b＞0且ab＞0”成立；反之，若“a+b＞0且ab＞0”，则“a、b同号，且其和为正值”，即“a＞0且b＞0”成立。
答案：c3.(2009·安徽)“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的( )
a.必要不充分条件 b.充分不必要条件。
c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件。
解析：若“a+c＞b+d”成立，则“a＞b且c＞d”不一定成立。如a=2,c=-1,b=3,d=-4；反之，若“a＞b且c＞d”成立，则由不等式的性质可知“a+c＞b+d”必成立。
答案：a4.（2008·重庆）设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的（ ）
a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件。
c.充要条件d.既不充分也不必要条件。
解析：两偶数之和必为偶数，但两个数的和为偶数，这两个数未必都是偶数，如1+3=4，3+5=8等等，故选a.
答案：a5.（2008·湖北）若非空集合a，b，c满足a∪b=c，且b不是a的子集，则（ ）
a.“x∈c”是“x∈a”的充分条件但不是必要条件。
b.“x∈c”是“x∈a”的必要条件但不是充分条件。
c.“x∈c”是“x∈a”的充要条件。
d.“x∈c”既不是“x∈a”的充分条件也不是“x∈a”的必要条件。
解析：∵a∪b=c，∴x∈ax∈c,反之不一定成立，故选b.
答案：b易错指津。
自我完善·误区备考。
易错点一对向量知识理解错误导致解题失误。
自我诊断①已知a,b,c为非零的平面向量。甲：a·b=a·c，乙：b=c,则( )
a．甲是乙的充分条件但不是必要条件。
b．甲是乙的必要条件但不是充分条件。
c．甲是乙的充要条件。
d．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件。
解析：a·b=a·cb=c.但若b=c,则a·b=a·c.
甲是乙的必要非充分条件。
答案：b易错点二理解题意不深刻导致解题失误。
自我诊断②设a1,b1,c1,a2,b2,c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为集合m和n，那么“”是“m=n”的( )
a．充分非必要条件。
b．必要非充分条件。
c．充要条件。
d．既非充分又非必要条件。
解析：用特殊值法。若“=-1”,则不能推得“m=n”.反之若“m=n=r”，则不能必然推出“”,故既非充分又非必要条件。
答案：d题型技法。
互动**·方法备考。
题型一条件类型的判断。
例1】 判定下列各题中a是b成立的什么条件：
1）a：|x|＞4,b:x＞4;
2）a：α≠2kπ+,b:cosα≠
直线与直线ｘ－ｍ互相垂直．
解析：（1）x＞4时，|x|＞4成立，但|x|＞4时，x＞4并不一定成立，所以a是b成立的必要不充分条件；
2）若α=2kπ+，cosα=必然成立，所以时，必有成立，但α≠2kπ+时，cosα=可以成立，所以，ａ是ｂ成立的必要不充分条件；
３）若ｍ＝－成立，直线为４ｘ－
ｙ＋３直线ｘ－ｍ为ｘ＋２显然两直线斜率互为负倒数，因而互相垂直，但当两直线垂直时，ｍ＝并不一定成立，例如：ｍ＝时两直线互相垂直，所以ａ是ｂ成立的充分不必要条件．
规律方法：判断条件是结论的什么条件必须坚持双向考察的原则，即尝试从条件推结论，同时从结论推条件，两者缺一不可。
创新**1（1)是否存在实数p,使“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围。
2）是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围。
题型二利用条件类型求参数的取值范围。
例2】 设命题p:|4x-3|≤1；命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若p是q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围。
解析：由|4x-3|≤1，得-1≤4x-3≤1,故≤x≤1.
由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0 (x-a)(x-a-1)≤0a≤x≤a+1.
p是q的必要而不充分条件，p是q的充分而不必要条件，即，1［a,a+1］,故所求的实数a的取值范围是0，.
规律方法：上述解法是利用等价性将“p是q的必要而不充分条件”转化为“p是q的充分而不必要条件”简化解题。本题另一种解法就是在求得p和q后，求出p和q，再进行判断。
创新**2已知p:≤2；q:x2-2x+1-m2≤0 (m＞0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围。
解析：由≤2，得-2≤x≤10，所以“p”：x＜-2或x＞10，设a=.
由x2-2x+1-m2≤0，得1-m≤x≤1+m (m＞0)，所以“q”：x＞1+m或x＜1-m (m＞0)，设b=.
因为p是q的充分不必要条件，结合数轴有。
解得0＜m≤3.
故m的取值范围是(0,3］.
题型三探求结论成立的充要条件。
例3】已知集合m=,n=，求m∩n≠的充要条件。
解析：易知m∩n≠的充要条件是方程组。
至少有一个实数解，且x≥0，即x2+2(1-a)x+a2-9=0至少有一个非负根。
由δ≥0得a≤5，在此前提下，以下若顺向思维，则情形较繁；若逆向思维，考虑至少有一个非负根的反面是有两个负根（只有一种情形），易知其充要条件是。
解得a＜-3.
从而所求充要条件为-3≤a≤5.
规律方法：在寻找或论证充要命题时，若在转化过程中始终保持等价关系，则可不必分充分性与必要性两方面验证。
创新**3 求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件。
题型四充要条件的证明。
例4】若ab≠0，试证a3+b3+ab-a2-b2=0的充要条件是a+b=1.
证明：先证必要性：∵a3+b3+ab-a2-b2=0,(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,即（a+b-1）(a2-ab+b2)=0.
又ab≠0，∴a2-ab+b2=，规律方法：首先要搞清什么是充分性，什么是必要性，在必要性的证明过程中要注意： ，否则可能出现逻辑错误。
创新**4 求证方程x2+ax+1=0(a∈r)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|＞.这个条件是其充分条件吗？为什么？
解析：∵方程x2+ax+1=0(a∈r)有两实根，
则δ=a2-4≥0,∴a≤-2,或a≥2.
设方程x2+ax+1=0的两实根分别为x1、x2，则。
x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=a2-2＞3.
|a|＞＞方程x2+ax+1=0(a∈r)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|＞；但a=2时，x21+x22=2≤3.
因此这个条件不是其充分条件。
精品作业。自我测评·技能备考。
一、选择题：每小题6分，共36分。
1.（20010·浙江金华十校期末）已知p=，q=，则“x∈p”是“x∈q”的( )
a.充要条件。
b.充分不必要条件。
c.必要不充分条件。
d.既不充分也不必要条件。
答案：a解析：p=，q=.
p=q，故为充要条件。∴选a.
2.（2009·北京东城区模拟）已知a,b为实数，则2a＞2b是log2a＞log2b的( )
a.充分非必要条件。
b.必要非充分条件。
c.充要条件。
d.既不充分也不必要条件。
答案：b解析：p:2a＞2ba＞b;q:log2a＞log2ba＞b＞0，故pq,qp，∴p是q的必要不充分条件。
3.（2009·广东韶关模拟）△abc中“cosa=2sinbsinc”是“△abc为钝角三角形”的( )
14幂函数 函数与方程
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14函数与导数
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集合与函数概念实习作业
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