2023年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答。
第一试。一。 选择题（每小题分，共42分）
化简的结果是（ ）
答案： 解：，因此原式．
是一个等腰直角三角形，是其内接正方形，是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）
答案：．解：设，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为的有个，它们组成对全等三角形；斜边长为的有个，它们组成对全等三角形；斜边长为的有个，它们组成对全等三角形；共计对．
设，且函数与有相同的最小值；
函数与有相同的最大值；则的值( )
必为正数； 、必为负数；、必为；、符号不能确定．
答案：.解：，由，得 ……
由，得 ……
-①得，，所以 ……或……④
若，则；若，据②④，即，矛盾！
若关于的方程没有实根，那么，必有实根的方程是（ ）
答案：.解：由方程无实根，得其判别式δ,于是，方程的判别式分别是：
, 显然，对于满足的每个值，可以确保，但不能保证非负，（即使得方程无实根的的区间与区间都有重叠部分，而使方程无实根的的区间与区间无重叠部分），所以必有实根，其余方程不一定有实根。
正方形中，分别是上的点，交于，交于；若平分，；记， ,则有（ ）
答案： 解：由角平分线， ,即，又的角分线与高重合，则为等腰三角形，，作∥，交于，则为的中位线，，所以。
将这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数， 如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（ ）
种； 、种； 种、； 种．
答案： 解：相邻两数和为奇质数，则圆周上的数奇偶相间，于是的两侧为，而的两侧为；剩下两数必相邻，且与之一邻接；考虑三个模块的邻接情况，得到种填法．
二、 填空题（每小题7分，共28分）
若个连续正整数之和为，则的最大值是 ．
答案：．解：设，则，注意，而，为使值最大，当把表成最接近的一对因数之积，为，所以．
单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为 .
答案： 解：单位正三角形内切圆半径为，其面积为，而为其中心，故，因此，与的相似比为，于是每个小圆面积等于⊙o面积的，故四个圆面积之和为，因此，所求三角形剩下部分的面积为．
圆内接四边形的四条边长顺次为：，则四边形的面积为 .
答案：.解：由于，即，所以与都是直角三角形，因此，四边形面积。
在中，适当选择+、-号，可以得到不同代数和的个数是 ．
答案：个．解：中，有奇数三个，故其代数和必为奇数；由可以得到绝对值的所有奇数：这是由于，，，以上各式通乘，可得的表达式；
而据题意，表达式中，及都必须参与，那么，能得到的整数应是加或减，即得到十二个正奇数和十二个负奇数；因此可表出的数共计个．
第二试。一、（20分）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程的两根，求的值并确定直角三角形三边之长．
解：设直角边为，（）则，因方程的根为整数，故其判别式为平方数，设，
或或。解得(不是整数，舍去)，
时， 时，
二、（分）如图，自内的任一点，作三角形三条边的垂线：
若；证明：．
证：注意如下事实：若四边形的两条对角线互相垂直，则其两组对边的平方和相等．连，则有；
三式相加得，利用条件，代入上式，得．
三、（分）已知为正整数，且为有理数，证明为整数．
证：因是无理数，则 ，而
为有理数，所以，于是。
因此，为整数．
2023年初中数学竞赛题
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