2023年全国初中数学竞赛试题。
一、选择题。
1．若，则的值为（d ）．
a） （b） （c） （d）
2．若实数a，b满足，则a的取值范围是（c ）．
a）a （b）a4 （c）a≤或 a≥4 （d）≤a≤4
3．如图，在四边形abcd中，∠b＝135°，∠c＝120°，ab=，bc=，cd＝，则ad边的长为（d ）．
a）（b） （c） （d）
4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（b ）．
a) 1 (b) 2(c) 3(d) 4
5．如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形abcd的顶点坐标分别为a（1，1），b（2，－1），c（－2，－1），d（－1，1）．y轴上一点p（0，2）绕点a旋转180°得点p1，点p1绕点b旋转180°得点p2，点p2绕点c旋转180°得点p3，点p3绕点d旋转180°得点p4，……重复操作依次得到点p1，p2，…，则点p2010的坐标是（ b）．
a）（2010，2） （b）（2010，）
c）（2012，） d）（0，2）
解：b由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．
记，其中．根据对称关系，依次可以求得：，．
令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）．
二、填空题。
6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于0 ．
解：由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是。
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝15 ．
解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为s千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得。
由①②，得，所以，x=30．故 （分）．
8．如图，在平面直角坐标系xoy中，多边形oabcde的顶点坐标分别是o（0，0），a（0，6），b（4，6），c（4，4），d（6，4），e（6，0）．若直线l经过点m（2，3），且将多边形oabcde分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．
解：如图，延长bc交x轴于点f；连接ob，afce，df，且相交于点n．
由已知得点m（2，3）是ob，af的中点，即点m为矩形abfo的中心，所以直线把矩形abfo分成面积相等的两部分．又因为点n（5，2）是矩形cdef的中心，所以，过点n（5，2）的直线把矩形cdef分成面积相等的两部分．
于是，直线即为所求的直线．
设直线的函数表达式为，则。
解得 ,故所求直线的函数表达式为．
9．如图，射线am，bn都垂直于线段ab，点e为am上一点，过点a作be的垂线ac分别交be，bn于点f，c，过点c作am的垂线cd，垂足为d．若cd＝cf，则 ．
解： 见题图，设．
因为rt△afb∽rt△abc，所以 ．
又因为 fc＝dc＝ab，所以即 ，解得，或（舍去）．
又rt△∽rt△，所以， 即=．
10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为．
解： 因为为的倍数，所以的最小值满足。
其中表示的最小公倍数．
由于。因此满足的正整数的最小值为．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，△abc为等腰三角形，ap是底边bc上的高，点d是线段pc上的一点，be和cf分别是△abd和△acd的外接圆直径，连接ef. 求证： .
证明：如图，连接ed，fd. 因为be和cf都是直径，所以。
ed⊥bc， fd⊥bc，因此d，e，f三点共线。 …5分）
连接ae，af，则，所以，△abc∽△aef. …10分）
作ah⊥ef，垂足为h，则ah=pd. 由△abc∽△aef可得，从而，所以。 …20分）
12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点a，b. 已知点a的坐标为（1，4），点b在第三象限内，且△aob的面积为3（o为坐标原点）.
1）求实数a，b，k的值；
2）过抛物线上点a作直线ac∥x轴，交抛物线于另一点c，求所有满足△eoc∽△aob的点e的坐标。
解：（1）因为点a（1，4）在双曲线上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为。
设点b（t，），ab所在直线的函数表达式为，则有。
解得，.于是，直线ab与y轴的交点坐标为，故。
整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点b的坐标为（，）
因为点a，b都在抛物线（a0）上，所以解得 ……10分）
2）如图，因为ac∥x轴，所以c（，4），于是co＝4. 又bo=2，所以。设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点d， 则点d的坐标为（，0）.
因为∠cod＝∠bod＝，所以∠cob=.
i）将△绕点o顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是co的中点，点的坐标为（4，）.
延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点。
ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点e２（2，）是符合条件的点．
所以，点的坐标是（8，），或（2，）.20分）13．求满足的所有素数p和正整数m.
解：由题设得，所以，由于p是素数，故，或。……5分）
（1）若，令，k是正整数，于是，故，从而。
所以解得 ……10分）
2）若，令，k是正整数。
当时，有，故，从而，或2.
由于是奇数，所以，从而。
于是这不可能。
当时，，；当，，无正整数解；当时，，无正整数解。
综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.……20分）
14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
解：首先，如下61个数：11，，，即1991）满足题设条件。……5分）
另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为，所以。
因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数。……10分）
设，i=1，2，3，…，n.
由，得，所以，，即≥11. …15分），故≤60. 所以，n≤61.
综上所述，n的最大值为61.
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