2024年高考数学试题分析——函数。
1．（2010湖南文数21题）已知函数其中，且。
i）讨论函数的单调性；
ii）设函数（是自然对数的底数），是否存在，使在上为减函数？若存在，求的取值范围；若不存在，请你说明理由。
解：（ⅰ的定义域为。
1） 若，则当时，；当时，当，
故分别在上单调递增，在上单调递减。
2） 若，仿（1）可得分别在上单调递增，在上单调递减。
存在使在上为减函数。事实上，设。
则。再设，则当在上单调递减时，必在上单调递减，所以由于，因此。而，所以此时，显然有在上为减函数，当且仅当在上为减函数，在上为减函数，且。
由（i）知，当时，在上为减函数。①又②
不难知道因令则，或。而于是（1）当时，若，则；若，则因而在上单调递增，在上单调递减。
（2）当时，，在上单调递减。综合（1）、（2）知，当时，在上的最大值为。
所以③ 又对只有当时在取得，亦即只有当时在取得。因此，当时，在上为减函数。从而由①，②知，.综上所述，存在使在上为减函数，且的取值范围为。
2．（2010浙江理数22题）已知是给定的实常数。设函数，，是的一个极大值点．
(ⅰ)求的取值范围；
ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列？若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．
解：（ⅰ于是可设是的两个实根，且。
1）当或时，则不是的极值点，此时不合题意。
2）当且时，由于是的极大值点，故即。
即。 所以，所以的取值范围是。
ⅱ） 由（ⅰ）可知，假设存在及满足题意，则（1）当时，则或于是即。
此时，或。2）当时，则或。①若，则于是。
即于是，此时。
若于是。即于是。
此时综上所述，存在满足题意。
当时，；当时，；当时，。
3．（2010全国卷2理数22题）设函数。
ⅰ）证明：当时，；
ⅱ）设当时，，求的取值范围．
解：（ⅰ当时，，当且仅当令则。
当时，在是增函数；当时在是减函数。
于是在处达到最小值，因而当时，即所以当时，
ⅱ）由题设，此时当时，若则不成立；当时，令则，当且仅当。
i）当时，由（ⅰ）知。
在是减函数，，即。
i i）当时，由（i）知。
当时，所以即。
综上，的取值范围是。
4．（2010陕西文数21题）已知函数。
ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；
ⅱ）设函数，当存在最小之时，求其最小值的解析式；
ⅲ）对（ⅱ）中的，证明：当时，.
解：（ⅰ由已知得解得。
两条曲线交点的坐标为。 切线的斜率为
切线的方程为。
ⅱ）由条件知（i）当时，令，解得。
当时，在上递减；
当时，在上递增。
是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点。
最小值。ii）当时，在上递增，无最小值。
故的最小值的解析式为。
ⅲ）由（ⅱ）知则令解得。
当时，在上递增；当时，在上递减。
在处取得极大值在上有且只有一个极值点，所以也是的最大值。当时，总有。
5．（2010辽宁文数21题）已知函数。
ⅰ）讨论函数的单调性； k^s*
ⅱ）设，证明：对任意，.
解：(ⅰ的定义域为。
当时，，故在单调增加；
当时，, 故在单调减少；
当时，令，解得。则当时，；
时，, 故在上单调增加，在上单调减少。
(ⅱ)不妨假设。由于故在上单调减少，所以等价于。即。令则。
于是。从而在单调减少，故，即故对任意。
6．（2010辽宁理数21题）已知函数。
）讨论函数的单调性；
）设，如果对任意，求的取值范围。
解：（ⅰ的定义域为（0，+∞
当时，，故在单调增加；
当时，，故在单调减少；
当时，令，解得。
则当时，；时，.
故在单调增加，在单调减少。
ⅱ）不妨假设。而，由（ⅰ）知在单调减少，从而。
等价于，.①
令，则。 ①等价于在单调减少，即。
从而。故的取值范围为。
7． （2010全国卷2文数21题）已知函数。
ⅰ）设，求的单调区间；
ⅱ）设在区间（2,3）中至少有一个极值点，求的取值范围。
解：（ⅰ当时，
当时在单调增加；当时。
在单调减少；当时。
在单调增加。 综上，的单调增区间是和，有单调减区间是。
ⅱ）当时，，为增函数，故无极值点；
当时，有两个根。
由题意知，①
或② ①式的解为
因此的取值范围是。
8. （2010江西理数19题）设函数。
ⅰ）当时，求的单调区间；
ⅱ）若在上的最大值为，求的值。
解：函数的定义域为，ⅰ）当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为。
ⅱ）当时，，即在上单调递增，故在上的最大值为因此。
9．（2010安徽文数20题）设函数，，求函数的单调区间与极值。
解：由知于是。
令从而，得，或当变化时，变化情况如下表：
因此，由上表知的单调递增区间是与，单调递减区间是，极小值为，极大值为。
10．（2010重庆文数19题）已知函数（其中常数是奇函数。
ⅰ)求的表达式；
ⅱ)讨论的单调性，并求在区间上的最大值与最小值。
解：(ⅰ由题意得因此。
因为函数是奇函数，所以即对任意实数。
有从而，解得因此的解析表达式为。
(ⅱ)由（i）知，所以，令解得，则当或时，，从而在区间上是减函数；当时，，从而在区间上是增函数。
由前面讨论知，在区间上的最大值与最小值只能在时取得，而。
因此在区间上的最大值为，最小值为。
11．（2010浙江文数21题）已知函数。
i）当时，求曲线在点）处的切线方程。
ii）设是的两个极值点，是的一个零点，且，.
证明：存在实数，使得按某种顺序排列后构成等差数列，并求。
解：（i）当时，因为故又。所以在点处的切线方程为。
（ii）证明：因为由于，故。所以的两个极值点为不妨设因为，且是的零点，故。
又因为此时依次成等差数列。所以存在实数满足题意，且。
12．（2010重庆理数18题）已知函数其中实数。
i）若，求曲线在点处的切线方程；
ii）若在处取得极值，试讨论的单调性。
解：（i）当时，而，因此曲线在点处的切线方程为即。
ii）因，由（i）知又因在处取得极值，所以。
即，解得此时，其定义域为，且，由得当或时，当且时， 由以上讨论知，在区间上是增函数，在区间上是减函数。
13．（2010山东文数21题）已知函数。
i）当时，求曲线在点处的切线方程；
ii）当时，讨论的单调性。
解：（i）当时，所以，因此，即曲线在点处的切线斜率为1.又所以曲线在点处的切线方程为即。
ii）因为所以。
令，（1）当时，，所以，当时，，此时，函数单调递减；当时，，此时，函数单调递增；
2）当时，由即，解得。
当时，恒成立，此时，函数在上单调递减；
当时， 时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增；时，，此时函数
单调递减；当时，由于，时，，此时，函数单调递减；时，此时，函数单调递增。
综上所述；当时，函数在上单调递减；函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减；函数在上单调递增；函数在上单调递减。
14．（2010北京文数20题）已知集合对于，，定义与的差为。
与之间的距离为。
ⅰ）当时，设，求；
ⅱ）证明：，且；
ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数。
解：（ⅰ1,0,1,0,1）.
ⅱ）证明：设。
因为，所以 从而。又。
由题意知当时，;
当时，.所以。
ⅲ）证明：设。
记由（ⅱ）可知。
所以中1的个数为，中1的个数为。
设是使成立的的个数。则。由此可知，三个数不可能都是奇数，即三个数中至少有一个是偶数。
15．（2010北京理数18题）已知函数。
i）当时，求曲线在点处的切线方程；
ii）求的单调区间。
解：（i）当时，，.
由于，，所以曲线在点处的切线方程为
即。ii），.当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故的单调递增区间是，单调递减区间是。
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是。
当时， 故的单调递增区间是。当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是。
16．（2010四川理数22题）设（且），是的反函数。
i）设关于的方程求在区间[2，6]上有实数解，求的取值范围；
ⅱ）当（为自然对数的底数）时，证明：；
ⅲ）当时，试比较与4的大小，并说明理由。
解：(1)由题意，得故，由。
得则。列表如下：
所以。 所以t的取值范围为[5,32].
ii） 令则
所以在上是增函数。
又因为，所以即。
即。ⅲ）设，则当时，
当时，设时，则。
所以。从而，所以综上，总有。
17．（2010天津文数20题）已知函数，其中。
ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）若在区间上，恒成立，求的取值范围。
解：（ⅰ当时，所以曲线在点处的切线方程为即。
ⅱ）.令，解得或。
以下分两种情况讨论：
1）若，当变化时，的变化情况如下表：
当等价于解不等式组得。因此。
2）若，则。当变化时，）的变化情况如下表：
当时，等价于解不等式组得或。
因此 综合（1）和（2），可知的取值范围为。
18．（2010天津理数21题）已知函数。
ⅰ）求函数的单调区间和极值；
ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称。证明当时，；
ⅲ）如果，且，证明。
ⅰ）解：令解得。
当变化时，的变化情况如下表：
所以在()内是增函数，在()内是减函数。 函数在。
处取得极大值，且。
ⅱ）证明：由题意可知，得。
令，即。于是。
当时，从而。从而函数在是增函数。
又所以时，有，即。
ⅲ）证明：（1）若。
2）若。根据（1），（2）得。
由（ⅱ）可知，，所以，从而。
因为，所以，又由（ⅰ）可知函数在区间内是增函数，所以，即。
19．（2010全国卷1理数20题）已知函数。
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