布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．
解。ⅰ）由试验结果知，用a配方生产的产品中优质的平率为，所以用a配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．
由试验结果知，用b配方生产的产品中优质品的频率为，所以用b配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
ⅱ）用b配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，，054，0.42，因此。
p(x=-2)=0.04， p(x=2)=0.54， p(x=4)=0.42，即x的分布列为。
x的数学期望值ex=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
27.（山东理18）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员a、b、c进行围棋比赛，甲对a，乙对b，丙对c各一盘，已知甲胜a，乙胜b，丙胜c的概率分别为0.6,0.
5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。
ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望。
解：（i）设甲胜a的事件为d，乙胜b的事件为e，丙胜c的事件为f，则分别表示甲不胜a、乙不胜b，丙不胜c的事件。
因为。由对立事件的概率公式知。
红队至少两人获胜的事件有：
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为。
（ii）由题意知可能的取值为0，1，2，3。
又由（i）知是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此。
由对立事件的概率公式得。
所以的分布列为：
因此。28.（陕西理20）如图，a地到火车站共有两条路径l1和l2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。
ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
ⅱ）用x表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（ⅰ）的选择方案，求x的分布列和数学期望。
解（ⅰ）ai表示事件“甲选择路径li时，40分钟内赶到火车站”，bi表示事件“乙选择路径li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2．用频率估计相应的概率可得。
p（a1）=0．1+0．2+0．3=0．6，p（a2）=0．1+0．4=0．5，p（a1） ＞p（a2甲应选择li
p（b1）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，p（b2）=0．1+0．4+0．4=0．9，p（b2） ＞p（b1乙应选择l2．
ⅱ）a,b分别表示针对（ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（ⅰ）知，又由题意知，a,b独立，的分布列为。
29.（四川理18）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。
有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时。
ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；
解：（1）所付费用相同即为元。设付0元为，付2元为，付4元为。
则所付费用相同的概率为。
2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为。
分布列。30.（天津理16）学校游园活动有这样一个游戏项目：
甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
ⅱ）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望。
解：本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力。满分13分。
（i）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则。
（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件b，则，又。
且a2，a3互斥，所以。
（ii）解：由题意可知x的所有可能取值为0，1，2.
所以x的分布列是。
x的数学期望。
31.（重庆理17）某市公租房的**位于a，b，c三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的**，且申请其中任一个片区的**是等可能的求该市的任4位申请人中：
（ⅰ）恰有2人申请**区**的概率；
（ⅱ）申请的**所在片区的个数的分布列与期望。
解：这是等可能性事件的概率计算问题。
（i）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请**区**的申请方式种，从而恰有2人申请**区**的概率为。
解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验。
记“申请**区**”为事件a，则。
从而，由独立重复试验中事件a恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请**区**的概率为。
（ii）ξ的所有可能值为1，2，3.又。
综上知，ξ有分布列。
从而有。九、平面向量。
一、选择题。
1.（四川理4）如图，正六边形abcdef中，=
a．0 b． c． d．
答案】d解析】
2.（山东理12）设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈r），（r），且，则称，调和分割，,已知平面上的点c，d调和分割点a，b则下面说法正确的是。
a．c可能是线段ab的中点
b．d可能是线段ab的中点。
c．c，d可能同时**段ab上
d．c，d不可能同时**段ab的延长线上。
答案】d3.（全国新课标理10）已知a，b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题。
其中真命题是。
a） （b） （c） （d）
答案】a4.（全国大纲理12）设向量a，b，c满足==1，=，则的最大值等于。
a．2 b． c． d．1
答案】a5.（辽宁理10）若，，均为单位向量，且，，则的最大值为。
a） （b）1 （c） （d）2
答案】b6.（湖北理8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥b．若x,y满足不等式，则z的取值范围为。
a．[-2，2] b．[-2，3c．[-3，2d．[-3，3]
答案】d7.（广东理3）若向量ａ，ｂ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ则。
a．4 b．3 c．2d．0
答案】d8.（广东理5）已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为c
a． b． c．4d．3
答案】9.（福建理8）已知o是坐标原点，点a（-1,1）若点m（x,y）为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是。
a．[-1．0] b．[0．1c．[0．2] d．[-1．2]
答案】c二、填空题。
10.（重庆理12）已知单位向量，的夹角为60°，则。
答案】11.（浙江理14）若平面向量α，β满足|α|1，|β1，且以向量α，β为邻边的。
平行四边形的面积为，则α与β的夹角的取值范围是 。
答案】12.（天津理14）已知直角梯形中，//是腰上的动点，则的最小值为。
答案】513.（上海理11）在正三角形中，是上的点，，则。
答案】14.（江苏10）已知是夹角为的两个单位向量，若，则k的值为。
答案】15.（安徽理13）已知向量满足，且，则a与b的夹角为 .
答案】16.（北京理10）已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b与c共线，则k
答案】117.（湖南理14）在边长为1的正三角形abc中， 设则。
答案】18.（江西理11）已知，·=2，则与的夹角为 答案】十。
二、复数。1．（重庆理1）复数。
a． b． cd．
答案】c2．（浙江理）把复数的共轭复数记作，i为虚数单位，若=
a．3-i b．3+i c．1+3i d．3
答案】a3．（天津理1）是虚数单位，复数=abcd．
答案】b4.（四川理2）复数=
a． b． c．0 d．
答案】a解析】
5.（山东理2）复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为。
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限。
答案】d6.（全国新课标理1）（1）复数。
a） （b） （c） （d）
答案】c7.（全国大纲理1）复数，为的共轭复数，则。
a． bcd．
答案】b8.（辽宁理1）为正实数，为虚数单位，，则。
a）2 （b） （c） （d）1
答案】b9.（江西理1）若，则复数。
a． b． c． d．
答案】d10.（湖南理1）若，为虚数单位，且则。
ab． c． d．
答案】d11.（湖北理1）为虚数单位，则=
ab．-1c． d．1
答案】a12.（福建理1）i是虚数单位，若集合s=，则。
abcd．
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