2024年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(全国卷ii理)
第ⅰ卷。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．
1．(2013课标全国ⅱ，理1)已知集合m＝，n＝，则m∩n＝(
a． d．2．(2013课标全国ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(
a．－1＋ib．－1－ic．1＋id．1－i
3．(2013课标全国ⅱ，理3)等比数列的前n项和为sn.已知s3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(
abcd．
4．(2013课标全国ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )
a．α∥且lb．α⊥且l⊥β
c．α与β相交，且交线垂直于ld．α与β相交，且交线平行于l
5．(2013课标全国ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(
a．－4b．－3c．－2d．－1
6．(2013课标全国ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的n＝10，那么输出的s＝(
ab． cd．
7．(2013课标全国ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系o－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
8．(2013课标全国ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
a．c＞b＞ab．b＞c＞ac．a＞c＞bd．a＞b＞c
9．(2013课标全国ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(
abc．1d．2
10．(2013课标全国ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )
a． x0∈r，f(x0)＝0
b．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形。
c．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞x0)单调递减。
d．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
11．(2013课标全国ⅱ，理11)设抛物线c：y2＝2px(p＞0)的焦点为f，点m在c上，|mf|＝5，若以mf为直径的圆过点(0,2)，则c的方程为( )
a．y2＝4x或y2＝8xb．y2＝2x或y2＝8x
c．y2＝4x或y2＝16xd．y2＝2x或y2＝16x
12．(2013课标全国ⅱ，理12)已知点a(－1,0)，b(1,0)，c(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△abc分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
a．(0,1b． c． d．
第ⅱ卷。本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013课标全国ⅱ，理13)已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则。
14．(2013课标全国ⅱ，理14)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n
15．(2013课标全国ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若，则sin θ＋cos
16．(2013课标全国ⅱ，理16)等差数列的前n项和为sn，已知s10＝0，s15＝25，则nsn的最小值为。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国ⅱ，理17)(本小题满分12分)△abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知。
a＝bcos c＋csin b.
1)求b；2)若b＝2，求△abc面积的最大值．
18．(2013课标全国ⅱ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱abc－a1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点， aa1＝ac＝cb＝.
1)证明：bc1∥平面a1cd；
2)求二面角d－a1c－e的正弦值．
19．(2013课标全国ⅱ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以x(单位：t,100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，t(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
1)将t表示为x的函数；
2)根据直方图估计利润t不少于57 000元的概率；
3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量x∈[100,110)，则取x＝105，且x＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求t的数学期望．
20．(2013课标全国ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xoy中，过椭圆m： (a＞b＞0)右焦点的直线交m于a，b两点，p为ab的中点，且op的斜率为。
1)求m的方程；
2)c，d为m上两点，若四边形acbd的对角线cd⊥ab，求四边形acbd面积的最大值．
21．(2013课标全国ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
2)当m≤2时，证明f(x)＞0.
请考生在第题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．(2013课标全国ⅱ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲。
如图，cd为△abc外接圆的切线，ab的延长线交直线cd于点d，e，f分别为弦ab与弦ac上的点，且bc·ae＝dc·af，b，e，f，c四点共圆．
1)证明：ca是△abc外接圆的直径；
2)若db＝be＝ea，求过b，e，f，c四点的圆的面积与△abc外接圆面积的比值．
23．(2013课标全国ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程。
已知动点p，q都在曲线c： (t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，m为pq的中点．
1)求m的轨迹的参数方程；
2)将m到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断m的轨迹是否过坐标原点．
24．(2013课标全国ⅱ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲。
设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
1)ab＋bc＋ac≤；
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