2024年普通高等学校统一考试新课标ⅱ 卷。
理科数学解析。
第ⅰ卷。一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则。
abcd．
答案】d解析】由已知得，,，故，选d
考点：考查集合与一元二次不等式的知识，简单题。
2.设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则。
abcd．
答案】a解析】由题意知：，所以-5，故选a。
考点：本小题主要考查复数的乘法，复数的几何意义，复数是高考的重点，年年必考，常常以选择或填空题的形式出现，难度不大，熟练基础知识是关键。
3.设向量满足，则。
abcd．
答案】a解析】因为。
两式相加得：，所以。
考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基础知识与基本题型是解答好本类题目的关。
4.钝角三角形的面积是，， 则。
abcd．
答案】b解析】由面积公式得：，解得，所以或，当时，由余弦定理得： =1，所以，又因为， ,所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；
则，由余弦定理得： =5，所以，故选b.
考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识。
5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
abcd．
答案】a解析】设a=“某一天的空气质量为优良”，b=“随后一天的空气质量为优良”，则，故选a.
考点：本小题主要考查条件概率的求法，熟练概率的基础知识是解答好本类题目的关键。
6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
a． b．
c. d．
答案】c解析】因为加工前的零件半径为，高为，所以体积，又因为加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为，高，右半部为大圆柱，半径为，高为，所以体积，所以削掉部分的体积与原体积之比为。
故选c.考点：主要考查立体几何中的三视图，考查空间想象能力。
7.执行右图程序框图，如果输入的均为，则输出的。
a． b．
c. d．
答案】d解析】由题意知：当时，，；
当时，，；当时，输出s=7，故选d。
考点：本小题主要考查程序框图的基础知识，程序框图是新课标新增内容，是高考的重点，年年必考，主要以客观题的形式出现，经常也数列、不等式、函数等知识相结合，在知识的交汇处出题，应熟练这部分的基础知识。
8.设曲线在点处的切线方程为，则。
abcd．
【答案】d解析】由题意可知：直线的方程为，代入抛物线的方程可得：
设a、b，则所求三角形的面积为=，故选d.
考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力。
9.设满足约束条件，则的最大值为。
a． b．
cd． 答案】b
解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线，可知当经过两条直线。
与的交点a（5，2）时，取得最大值8，故选b.
考点：本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题，正确画图与平移直线是解答这类问题的关键。
10.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的。
直线交于两点，为坐标原点，则的面积为。
ab． c. d．
答案】d解析】由题意可知：直线的方程为，代入抛物线的方程可得：，设，则所求三角形的面积为=，故选d.
考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力。
另解：∵，抛物线c的焦点的坐标为
所以直线ab的方程为：
由得，弦长
又∵点到直线的距离 ,故选d.
考点：综合考查抛物线的知识，弦长计算与分析直线和圆锥曲线位置关系的能力，难度为困难题。
11.直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成的角的余弦值为。
abc. d．
答案】c解析】以c为原点，直线ca为x轴，直线cb为y轴，直线为轴，则设ca=cb=1，则，，a（1，0，0），，故，，所以，故选c.
考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力。
另解：设ac=2， ，
故选c.考点：考查空间夹角问题。中等题。
12.设函数。若存在的极值点满足，则的取值范围是 （
ab． cd．
答案】c解析】由题意知：的极值为，所以，因为，所以，所以即，所以，即，而已知，所以，故，解得或，故选c.
考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力。
解析】 令。
即f(x)的极值点
存在f(x)的极值点，满足
又∵ 存在，使得。
存在，使得 ，故选c.
考点：考查导数与极值，三角函数，不等式的知识，为困难题。
第ⅱ卷。本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。
13.的展开式中，的系数为，则用数字填写答案)
答案】解析】因为，所以令，解得，所以，解得。
考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档。
14.函数的最大值为。
答案】解析】由题意知：
即，因为，所以的最大值为。
考点：本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的关键。
15.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围。
是__ 答案】
解析】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得。
考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键。
解析】作出函数f(x)的示意图，如图所示。
因为 考点：本题考查函数的单调性与奇偶性。简单题。
16.设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是___
答案】解析】由题意知：直线与圆有公共点即可，即圆心到直线的距离小于等于即可，如图，过，垂足为，在中，因为，所以=，解得，因为点m（,1），所以，解得，故的取值范围是。
考点：本小题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力，考查同学们分析问题和解决问题的能力，有一定的区分度。
解析】设点的坐标为
1）当时，∵
的斜率分别为：
即 取正号时，化简（*）式得：
取负号化简（*）式得：
,故且 2）当时，取，此时满足题设。
3）当时，取，此时也满足题设。
综上所述，
考点：考查应用斜率与倾斜角的概念，直线方程，园的方程，分析问题的能力。困难题。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
已知数列满足，.
ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
ⅱ）证明：.
答案】分析】（ⅰ证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；
ⅱ）可先由（ⅰ）求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式。
解析】（ⅰ证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得。
ⅱ）由（ⅰ）知： ，所以，因为当时，，所以，于是=，所以。
易错点】对第（ⅰ）问，构造数列证明等比数列不熟练；（ⅱ想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路。
考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力。数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键。
解析】（ⅰ∴是首项为，公比为3的等比数列。
ⅱ）由（ⅰ）知，故
考点：考查等比数列的通项公式，求和公式，考查放缩法证明不等式的技巧。中等题。
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点。
ⅰ）证明： /平面；
ⅱ）设二面角为，求三棱锥的体积。
答案】分析】（ⅰ证明直线与平面平行，可利用线面平行的判定定理来证明；
ⅱ）可先建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算计算二面角，从而计算出，然后由棱锥的体积公式求出三棱锥的体积。
解析】（ⅰ证明：设为与交点，连结，则由矩形知：为的中点，因为为的中点，所以∥，因为平面， 平面，所以//平面。
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