2023年夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷)
第ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013山东，文1)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝(
a．25 b． c．5 d．
答案：c解析：，所以|z|＝＝5.故选c.
2．(2013山东，文2)已知集合a，b均为全集u＝的子集，且(a∪b)＝，b＝，则a∩＝(
a． b． c． d．
答案：a解析：∵(a∪b)＝，a∪b＝．
又∵b＝，∴a一定含元素3，不含4.
又∵＝，a∩＝．
3．(2013山东，文3)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(
a．2 b．1 c．0 d．－2
答案：d解析：∵f(x)为奇函数，f(－1)＝－f(1)＝＝2.
4．(2013山东，文4)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如下图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )
a．，8b．，
c．， d．8,8
答案：b解析：由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高也是2，如图：
由图可知po＝2，oe＝1，所以pe＝，所以v＝×4×2＝，s＝.
5．(2013山东，文5)函数f(x)＝的定义域为( )
a．(－3,0]
b．(－3,1]
c．(－3)∪(3,0]
d．(－3)∪(3,1]
答案：a解析：由题可知。
定义域为(－3,0]．
6．(2013山东，文6)执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )
a．0.2,0.2b．0.2,0.8
c．0.8,0.2d．0.8,0.8
答案：c解析：第一次：
a＝－1.2＜0，a＝－1.2＋1＝－0.
2，－0.2＜0，a＝－0.2＋1＝0.
8＞0，a＝0.8≥1不成立，输出0.8.
第二次：a＝1.2＜0不成立，a＝1.2≥1成立，a＝1.2－1＝0.2≥1不成立，输出0.2.
7．(2013山东，文7)△abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若b＝2a，a＝1，b＝，则c＝(
a． b．2 c． d．1
答案：b解析：由正弦定理得：，又∵b＝2a，∴，cos a＝，∴a＝30°，∠b＝60°，∠c＝90°，c＝＝2.
8．(2013山东，文8)给定两个命题p，q．若p是q的必要而不充分条件，则p是q的( )
a．充分而不必要条件。
b．必要而不充分条件。
c．充要条件。
d．既不充分也不必要条件。
答案：a解析：由题意：qp， pq，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于所以p是q的充分而不必要条件．故选a.
9．(2013山东，文9)函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为( )
答案：d解析：因f(－x)＝－x·cos(－x)＋sin(－x)＝－xcos x＋sin x)＝－f(x)，故该函数为奇函数，排除b，又x∈，y＞0，排除c，而x＝π时，y＝－π排除a，故选d.
10．(2013山东，文10)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为( )
a． b． c．36 d．
答案：b解析：∵模糊的数为x，则：
90＋x＋87＋94＋91＋90＋90＋91＝91×7，x＝4，所以7个数分别为90,90,91,91,94,94,87，方差为s2＝
11．(2013山东，文11)抛物线c1：y＝(p＞0)的焦点与双曲线c2：的右焦点的连线交c1于第一象限的点m.若c1在点m处的切线平行于c2的一条渐近线，则p＝(
a． b． c． d．
答案：d解析：设m，，故m点切线的斜率为，故m.由，，(2,0)三点共线，可求得p＝，故选d.
12．(2013山东，文12)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )
a．0 b． c．2 d．
答案：c解析：由x2－3xy＋4y2－z＝0得x2＋4y2－3xy＝z，当且仅当x2＝4y2即x＝2y时，有最小值1，将x＝2y代入原式得z＝2y2，所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y，当y＝1时有最大值2.
故选c.
第ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．(2013山东，文13)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为。
答案： 解析：如图，当ab所在直线与ac垂直时弦bd最短，ac＝，cb＝r＝2，ba＝，∴bd＝.
14．(2013山东，文14)在平面直角坐标系xoy中，m为不等式组所表示的区域上一动点，则|om|的最小值是。
答案： 解析：由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示．
由图可知om的最小值即为点o到直线x＋y－2＝0的距离，即dmin＝.
15．(2013山东，文15)在平面直角坐标系xoy中，已知＝(－1，t)，＝2,2)．若∠abo＝90°，则实数t的值为。
答案：5解析：∵＝1，t)，＝2,2)，＝3，t－2)．
又∵∠abo＝90°，∴0，即(－3，t－2)·(2,2)＝0，6＋2t－4＝0，t＝5.
16．(2013山东，文16)定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：
若a＞0，b＞0，则ln＋(ab)＝bln＋a；
若a＞0，b＞0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；
若a＞0，b＞0，则≥ln＋a－ln＋b；
若a＞0，b＞0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.
其中的真命题有写出所有真命题的编号)
答案：①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．(2013山东，文17)(本小题满分12分)某小组共有a，b，c，d，e五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个．
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p＝＝.
2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(c，d)，(c，e)，(d，e)，共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为p＝.
18．(2013山东，文18)(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为。
1)求ω的值；
2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝sin2ωx－sin ωxcos ωx
cos 2ωx－sin 2ωx
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又ω＞0，所以。因此ω＝1.
2)由(1)知f(x)＝.
当π≤x≤时，≤.
所以，因此－1≤f(x)≤.
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.
19．(2013山东，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥p－abcd中，ab⊥ac，ab⊥pa，ab∥cd，ab＝2cd，e，f，g，m，n分别为pb，ab，bc，pd，pc的中点．
1)求证：ce∥平面pad；
2)求证：平面efg⊥平面emn.
1)证法一：取pa的中点h，连接eh，dh.
因为e为pb的中点，所以eh∥ab，eh＝.
又ab∥cd，cd＝，所以eh∥cd，eh＝cd.
因此四边形dceh是平行四边形，所以ce∥dh.
又dh平面pad，ce平面pad，因此ce∥平面pad.
证法二：连接cf.
因为f为ab的中点，所以af＝.
又cd＝，所以af＝cd.又af∥cd，所以四边形afcd为平行四边形．
因此cf∥ad.
又cf平面pad，所以cf∥平面pad.
因为e，f分别为pb，ab的中点，所以ef∥pa.
又ef平面pad，所以ef∥平面pad.
因为cf∩ef＝f，故平面cef∥平面pad.
又ce平面cef，所以ce∥平面pad.
2)证明：因为e，f分别为pb，ab的中点，所以ef∥pa.
又ab⊥pa，所以ab⊥ef.
同理可证ab⊥fg.
又ef∩fg＝f，ef平面efg，fg平面efg，因此ab⊥平面efg.
又m，n分别为pd，pc的中点，所以mn∥cd.
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