2023年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷) 文科数学。
253200 山东省夏津第一中学李承梅 137***
1）已知集合则的子集共有。
a）2个 （b）4个 （c）6个 （d）8个。
答案：b.解析：因为==，所以的子集共有4个，选b.
2）复数。a） （b） （c） （d）
答案：c.解析： =选c.
3）下列函数中，既是偶函数，又在单调递增的函数是。
a. b. c. d.
答案：b.解析：由奇函数、偶函数定义知，均为偶函数。但结合函数图象知只有的图象在逐渐上升，故选b.
4).椭圆的离心率为。
a. b. c. d.
答案：d.解析： =选d.
5）执行右面得程序框图，如果输入的是6，那么输出的是。
a）120b）720
c）1440
d）5040
答案：b.解析：
第一次输入的n=6，由于p=p·k=1·1=1,1<6,所以k=k+1=2,p= p·k=1·2=2;继续执行程序，k=3,p=2·3=6; 继续执行程序，k=4,p=6·4=24; 继续执行程序，k=5,p=24·5=120; 继续执行程序，k=6,p=120·6=720;k（6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为。
abcd)
答案：a.解析：
三个兴趣小组分别记为a,b,c，则甲、乙两位同学参加兴趣小组的情况有：（a,a）,(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)共有9种，其中两位同学参加同一个兴趣小组的结果有：（a,a），(b,b), c,c)共3种。
所以，这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为。
7）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则=
a） （b） (c) (d)
答案：b.解析：设p（a,2a）是角终边上任意一点，则r=|op|=，所以，==2·－1=－，故选b.
8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为。
答案：d.解析：由三视图定义及正视图、俯视图推断，该几何体是圆锥沿母线切下全等的两块，其侧视图应为d.
9）已知直线l过抛物线c的焦点，且与c的对称轴垂直。l与c交于a,b两点，=12，p为c的准线上一点，则abp的面积为。
a）18b）24 （c）36 （d）48
答案：c.解析：
由已知，线段ab即抛物线的通径，所以2p=|ab|=12,p=6.点p到ab的距离恰为抛物线c焦点到准线的距离p，所以abp的面积为： ·12·6=36，所以选c.
10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为。
a.(－0) b.(0，) c.(,d.(,
答案：c.解析：计算=－2<0, ,而，所以<0, >0,所以选c.
11）设函数，则
a） y= f (x)在（0，）单调递增，其图像关于直线x = 对称。
b） y= f (x)在（0，）单调递增，其图像关于直线x = 对称。
c）y= f (x) 在（0，）单调递减，其图像关于直线x = 对称。
d）y= f (x) 在（0，）单调递减，其图像关于直线x = 对称。
答案：d.解析： =其在（0，）单调递减且=时，取到最小值－，即图像关于=对称。选d.
巧解：注意到函数的周期为，选项中单调区间相同， >所以，选d.
12) 已知函数y= f (x) 的周期为2，当x时 f (x) =x2,那么函数y = f (x) 的图像与函数y =的图像的交点共有。
a）10个 （b）9个 （c）8个 （d）1个。
答案：a.解析：
画出两函数在区间[－1,10]上的图像，由于x>0,lg10=1,所以两函数图象的交点应在[0,10],具体分别在[0,1]1个，[1,3]2个，[3,5]2个，[5,7]2个，[7,9]2个，[9,10]1个，共10个。选a.
第ⅱ卷。本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须回答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13）已知与为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量+与向量k-垂直，则k
答案：1.解析：由已知||=1，且（+）k-）=0，所以k＋（k－1）·－k－1)(1＋·)0,所以，k=1.
14）若变量x，y满足约束条件， 则z=x+2y的最小值为。
答案：－6.
解析：画出平面区域，画出直线=0；沿y轴向下平移直线=0，知其过点a时，z最小。
解方程组，得x=4,y=－5，所以z的最小大值为－6.
15）△abc中，b=120°，ac=7，ab=5，则△abc的面积为。
答案：.解析：由余弦定理得，，所以，解得，bc=3,bc=－8（舍去），所以△abc的面积为=.
16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为。
答案：.解析：设球心到圆锥底面距离为d,圆锥底半径为r，球半径为r.依题意则有，所以，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为=.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17）（本小题满分12分）
已知等比数列{}中，，公比。
i）为{}的前项和，证明：
ii）设，求数列{}的通项公式。
解析：（i）证明：由已知，
ii）解：由（i）知。
－[1+2+3所以，数列{}的通项公式为=－.
18）（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为平行四边形。 底面 。
i）证明：ii）设，求棱锥的高。
解析：i） 证明：因为=60°，ab=2ad，所以由余弦定理得， =2ab·ad·cos60°=-即adbd，又底面，所以。而。
所以，.故。
ii） 解：（等体积法）由及（i）知，,=1, =2.且，,从而平面。即是三棱锥的高。
设三棱锥的高为h，则由=得， =所以h=，即棱锥的高为。
19）（本小题12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为a分配方和b分配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
a配方的频数率分布表。
b配方的频数分布表。
ⅰ）分别估计用a配方，b配方生产的产品的优质品率；
ⅱ）已知用b配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为，估计用b配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用b配方生产的上述100件产品平均一件的利润。
解析：ⅰ）由试验结果知，用a配方生产的产品中优质品的频率为=0.3，所以，用a配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用b配方生产的产品中优质品的频率为=0.42.所以，用b配方生产的产品的中优质品率的估计值为0.42.
ⅱ）由条件知，用b配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t94.由试验结果知，质量指标值t94的频率为0.96.
所以，用b配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用b配方生产的产品平均一件的利润为[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68(元).
20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xoy中，曲线与坐标轴的交点都在圆c上。
ⅰ）求圆c的方程；
ⅱ）若圆c与直线交与a，b两点，且，求a的值。
解析：（ⅰ曲线，与轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3＋，0），（3－，0）.
故可设圆心c（3，t），则有，解得，t=1.
所以圆c的半径为=3.
所以圆c的方程为=9.
ⅱ）设a(,)b（,）其坐标满足方程组，消去y，得方程=0.所以，由已知可得判别式》0.
因此=4－a
由于，所以=0.又，所以2+a（）+0
由，得a=－1，满足》0，故a=－1.
21）（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为。
ⅰ）求、的值；
ⅱ）证明：当，且时，.
解析：（ⅰ.由于直线－3=0的斜率为－，且过点（1,1），故，即，解得a=1,b=1.
ⅱ）由（ⅰ）知，所以（）.
令h(x)= x>0),则=－.
所以，当1时， <0.而h(1)=0,故当（0,1）时，h(x)>0，可得h(x)>0；
当（1，+）时，h(x)<0,可得h(x)>0.
从而当x>0,且1时， >0，即。
请考生在第题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为m，的长为n，ad,的长是关于的方程的两个根。
ⅰ）证明：，，四点共圆；
ⅱ）若，且，求，，，所在圆的半径。
解析：i）连接de，根据题意在△ade和△acb中，
ad×ab=mn=ae×ac
即。又∠dae=∠cab,从而△ade∽△acb
因此∠ade=∠acb
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