(2015· 广东，15，中)如图，ab为圆o的直径，e为ab延长线上一点，过e作圆o的切线，切点为c，过a作直线ec的垂线，垂足为d.若ab＝4，ce＝2，则ad
解析】 方法一：如图，连接oc，c为切点，在△oce中，oc＝r＝2，ce＝2，oe＝4，sin ∠ceo＝，∴ceo＝30°.
在rt△aed中，∠aed＝∠ceo＝30°，ad＝ae＝(ao＋oe)＝3.
方法二：如图，连接oc.∴oc⊥cd.
又ad⊥cd，∴oc∥ad，△oce∽△ade.
依题得，ce2＝be·ae，ce2＝be·(ab＋be)．
又ce＝2，ab＝4，∴be＝2.
又△oce∽△ade，∴＝ad＝＝3.
答案】 31．(2014·天津，7，易)如图，△abc是圆的内接三角形，∠bac的平分线交圆于点d，交bc于点e，过点b的圆的切线与ad的延长线交于点f.在上述条件下，给出下列四个结论：①bd平分∠cbf；②fb2＝fd·fa；③ae·ce＝be·de；④af·bd＝ab·bf.
则所有正确结论的序号是( )
a．①②b．③④c．①②d．①②
答案】 d 由题意知∠fbd＝∠bad，∠dbc＝∠dac，∠bad＝∠dac，∠fbd＝∠dbc，故①正确；
由切割线定理知②正确；
易证△ace∽△bde.
＝，③不正确；
在△abf和△bdf中，∠fbd＝∠bad，∠bfd＝∠bfa，△abf∽△bdf，∴＝af·bd＝ab·bf，∴④正确．
故选d.2．(2014·陕西，15b，易)如图，△abc中，bc＝6，以bc为直径的半圆分别交ab，ac于点e，f，若ac＝2ae，则ef
解析】 由已知得∠aef＋∠bef＝180°，∠bef＋∠bcf＝180°，所以∠aef＝∠bcf；同理，可证∠afe＝∠abc.
所以△aef∽△acb，所以＝ef＝·bc＝×6＝3.
答案】 33．(2013·广东，15，易)如图，在矩形abcd中，ab＝，bc＝3，be⊥ac，垂足为e，则ed
解析】 在rt△abc中，bc＝3，ab＝，所以∠bac＝60°.
因为be⊥ac，ab＝，所以ae＝，在△ead中，∠ead＝30°，ad＝3，由余弦定理知，ed2＝ae2＋ad2－2ae·ad·cos∠ead＝＋9－2××3×＝，故ed＝.
答案】 4．(2012·陕西，15b，易)如图，在圆o中，直径ab与弦cd垂直，垂足为e，ef⊥db，垂足为f，若ab＝6，ae＝1，则df·db
解析】 由相交弦定理得ae·eb＝de2，∴de＝.
又△deb∽△dfe，∴de2＝df·db＝5.
答案】 55．(2013·辽宁，22，10分，中)如图，ab为⊙o的直径，直线cd与⊙o相切于e，ad垂直cd于d，bc垂直cd于c，ef垂直ab于f，连接ae，be.证明：
1)∠feb＝∠ceb；
2)ef2＝ad·bc.
证明：(1)由直线cd与⊙o相切，得∠ceb＝∠eab.
由ab为⊙o的直径，得ae⊥eb，从而∠eab＋∠ebf＝90°；
又ef⊥ab，得∠feb＋∠ebf＝90°，从而∠feb＝∠eab.
故∠feb＝∠ceb.
2)由bc⊥ce，ef⊥ab，∠feb＝∠ceb，be是公共边，得rt△bce≌rt△bfe，所以bc＝bf.
类似可证：rt△ade≌rt△afe，得ad＝af.
又在rt△aeb中，ef⊥ab，故ef2＝af·bf，所以ef2＝ad·bc.
6．(2012·课标全国，22，10分，中)如图，d，e分别为△abc边ab，ac的中点，直线de交△abc的外接圆于f，g两点．若cf∥ab，证明：
1)cd＝bc；
2)△bcd∽△gbd.
证明：(1)如图，连接af，因为d，e分别为ab，ac的中点，所以de∥bc.
又cf∥ab，故四边形bcfd是平行四边形，所以cf＝bd＝ad.而cf∥ad，所以四边形adcf是平行四边形，故cd＝af.
因为cf∥ab，所以bc＝af，故cd＝bc.
2)因为fg∥bc，故gb＝cf.
由(1)可知bd＝cf，所以gb＝bd，∠bgd＝∠bdg.
由bc＝cd知∠cbd＝∠cdb.
又因为∠dgb＝∠efc＝∠dbc，故△bcd∽△gbd.
考向1 相似三角形的判定方法与性质应用。
1．相似三角形的判定方法。
1)判定定理。
定理1：两角对应相等，两三角形相似．
定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
定理3：三边对应成比例，两三角形相似．
2)引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
3)直角三角形相似的特殊判定方法。
斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
2．相似三角形的性质。
1)相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比．
2)相似三角形的面积比等于相似比的平方．
1)(2014·广东，15)如图，在平行四边形abcd中，点e在ab上且eb＝2ae，ac与de交于点f，则。
2)(2012·辽宁，23，10分)如图，⊙o和⊙o′相交于a，b两点，过a作两圆的切线分别交两圆于c，d两点，连接db并延长交⊙o于点e，证明：
ac·bd＝ad·ab；
ac＝ae.
解析】 (1)∵四边形abcd是平行四边形，∠dcf＝∠fae，∠cdf＝∠fea，∴△cdf∽△aef，＝＝
又∵eb＝2ae，∴ab＝3ae＝cd＝3＝＝3，＝3.
2)证明：①由ac与⊙o′相切于a，得∠cab＝∠adb，同理∠acb＝∠dab，所以△acb∽△dab，从而＝，即ac·bd＝ad·ab.
由ad与⊙o相切于a，得∠aed＝∠bad，又∠ade＝∠bda，所以△ead∽△abd.
从而＝，即ae·bd＝ad·ab.
结合(1)的结论，可得ac＝ae.
点拨】 解题(1)及(2)①的关键是证明三角形相似；题(2)②需注意应用圆中的有关定理，并结合相似三角形进行证明．
相似三角形的判定定理的选择。
1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2；
2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3；
3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定三角形相似的一般方法来判定．
2013·陕西，15b)如图，ab与cd相交于点e，过e作bc的平行线与ad的延长线交于点p，已知∠a＝∠c，pd＝2da＝2，则pe
解析】 因为pe∥bc，所以∠c＝∠ped，所以∠a＝∠ped.
又∠p是公共角，所以△ped∽△pae.
则＝，即pe2＝pa·pd.
由pd＝2da＝2，可得pe2＝6.
所以pe＝.
答案】 考向2 截割定理与射影定理的应用。
1．平行线等分线段定理。
1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
2)推论。经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
2．平行线分线段成比例定理。
1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
3．直角三角形的射影定理。
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
1)(2011·广东，15)如图，在梯形abcd中，ab∥cd，ab＝4，cd＝2，e，f分别为ad，bc上的点，且ef＝3，ef∥ab，则梯形abfe与梯形efcd的面积比为___
2)(2015·河南郑州一模，22，10分)如图所示，在rt△abc中，∠bac＝90°，ad⊥bc于d，be平分∠abc交ac于e，ef⊥bc于f.
求证：ef∶df＝bc∶ac.
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