【数学理】2011届高考模拟题（课标）分类汇编：选修4系列。
1．(2011豫南九校四联)
本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲。
在中，ab=ac，过点a的直线与其外接圆交。
于点p，交bc延长线于点d。
（1）求证： ；
（2）若ac=3，求的值。
解：（1），～又 （5分）
～，2．(2011豫南九校四联)
本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知对于任意非零实数，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解：即恒成立。
（2分）只需。
（1）当时，原式，即 （5分）
（2）当时，原式，即 （7分）
（3）当时，原式，即 （9分）
综上的取值范围为 （10分）
3．（2011北京朝阳区期末）
如图，是⊙的直径，切⊙于点，切⊙于
点，交的延长线于点。若，，则
的长为___3___
4．（2011北京朝阳区期末）
曲线（为参数）与曲线的直角坐标方程分别为，两条曲线的交点个数为 2 个。
6. （2011北京西城区期末）
如图所示，过圆外一点做一条直线与圆交于两点，，与圆相切于点。已知圆的半径为，,则___3__.
7．(2011东莞期末)
(几何证明选做题) 如图，在中，以点为圆心，线段的长为半径的半圆交所在直线于点、，交线。
段于点，则线段的长为。
8．(2011东莞期末)
(坐标系与参数方程选做题)已知圆c的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线与圆c的公共点的直角坐标为。
9．（2011佛山一检）（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy中，点的直角坐标为。若以原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以是。
10．（2011佛山一检）（几何证明选讲）如图，在中， /若，则的长为。
11．（ 2011广东广雅中学期末）
坐标系与参数方程》选做题：
已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．
设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，则的最大值为。
12．（ 2011广东广雅中学期末）
几何证明选讲》选做题：
如图，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆。
的切线，过作直线的垂线，为垂足，与圆交于。
点，则线段的长为 4 ．
13．（2011广州调研）
几何证明选讲选做题）如图3，四边形内接于⊙，是直径，与⊙相切， 切点为，, 则 .
14．（2011广州调研）
坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，则直线与圆的位置关系为相交。
15．（2011哈尔滨期末）
极坐标方程表示的图形是c ）
a．两个圆b．两条直线
c．一个圆和一条射线 d．一条直线和一条射线。
16、（2011哈尔滨期末）
已知直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系。
的点为极点，方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为。
1）求直线的倾斜角；
2）若直线与曲线交于两点，求．
解：（1）2）的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离，17. (2011·惠州三调)（坐标系与参数方程选做）
在极坐标系中，点到直线的距离为
解析】直角坐标方程 x+y﹣2=0，d==
18. (2011·惠州三调)（几何证明选讲选做题）
如图，点b在⊙o上， m为直径ac上一点，bm的延长线交⊙o于n，，若⊙o的半径为，oa=om ，则mn的长为 2 ．
解析】∵∴om=2,bo=∴bm=4,bm·mn=cm·ma=(+2)(-2)=8，∴mn=2
19、 (2011·锦州期末)（本小题10分）选修4—1：几何证明选讲。
如图，设为⊙o的任一条不与直线l垂直的直径，是⊙o与l的公共点，l，⊥l，垂足分别为，，且，求证：
（i）l是⊙o的切线；
（ii）平分∠abd．
证明：（ⅰ连结op，因为ac⊥l，bd⊥l，所以ac//bd．
又oa=ob，pc=pd，所以op//bd，从而op⊥l．
因为p在⊙o上，所以l是⊙o的切线5分。
（ⅱ）连结ap，因为l是⊙o的切线，所以∠bpd=∠bap．
又∠bpd+∠pbd=90°，∠bap+∠pba=90°，所以∠pba=∠pbd，即pb平分∠abd．……10分。
第二问的证明也可：连结op，角opb等于角dbp；而等腰三角形opb中，角opb等于角obp；故pb平分角abd）
20、(2011·锦州期末)（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
已知某圆的极坐标方程为。
i）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
ii）若点在该圆上，求的最大值和最小值．
解3分。（为参数5分。
ⅱ）因为，所以其最大值为6，最小值为2………10分。
21、(2011·锦州期末)（本小题10分）选修4－5：不等式选讲。
设，试比较的大小．
解：当………3分）
当时，……6分）
当时， …9分）
综上，当。当，10分）
22．（2011·九江七校二月联考）已知。
（ b ）
a． 2008 b．—2008c．2010 d．—2010
23．（2011·九江七校二月联考）
1）（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为，则该圆的圆心到直线的距离是 。
2) （不等式选讲选做题）若，且，则的最小值为 4 。
24、（2011·上海长宁区高三期末）不等式的解集为。
25. （2011苏北四市二调）
选修4－1：几何证明选讲。
(本小题满分10分)
如图，与⊙相切于点，为的中点，过点引割线交⊙于，两点，求证： ．
证明】因为与圆相切于，所以。
因为d为pa中点，所以，
所以dp2=db·dc，即 ． 5分。
因为， 所以。
所以10分。
26、（2011苏北四市二调）选修4—2：矩阵与变换。
(本小题满分10分)
已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量。
解：矩阵m的特征多项式为。
1分。因为方程的一根，所以………3分。
由得5分。设对应的一个特征向量为，则得8分。
令，所以矩阵m的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为………10分。
27、（2011苏北四市二调）选修4—4：坐标系与参数方程。
(本小题满分10分)
在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），判断直线和圆的位置关系．
解：消去参数，得直线的直角坐标方程为；……2分。
即，两边同乘以得，得⊙的直角坐标方程为6分。
圆心到直线的距离，所以直线和⊙相交10分。
28、（2011苏北四市二调）选修4—5：不等式选讲。
本小题满分10分)
求函数的最大值．
d. 因为≤ …6分。
≤…8分，当且仅当时取“”号，即当时，……10分。
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