【数学理】2011届高考模拟题（课标）
分类汇编：函数与导数。
4．（2011北京朝阳区期末）
下列函数中，在内有零点且单调递增的是 (b
a） （b） （cd)
2．（2011北京朝阳区期末）
已知函数 .
ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）当时，讨论的单调性。
解：（ⅰ当时，，.
所以，. 求导、定义域各一分） 2分。
因此。 即曲线在点处的切线斜率为1. …3分。
又4分。所以曲线在点处的切线方程为。 …5分。
ⅱ）因为，所以7分。
令，当时，当时，，此时，函数单调递减；……8分。
当时，，此时，函数单调递增。 …9分。
当时，由即解得，.
此时，所以当时，，此时，函数单调递减；…10分。
时，，此时，函数单调递增；……11分。
时，，此时，函数单调递减。 …12分。
综上所述：当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；在上单调递减。
3．（2011北京朝阳区期末）
已知函数（为实数，，）若， 且函数的值域为，求的表达式；
ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当时，是单调函数，求实数。
的取值范围；
ⅲ）设，，，且函数为偶函数，判断是。
否大于？解：（ⅰ因为，所以。
因为的值域为，所以2分。
所以。 解得，. 所以。
所以4分。ⅱ）因为。
6分。所以当或时单调。
即的范围是或时，是单调函数． …8分。
ⅲ）因为为偶函数，所以。
所以10分。
因为， 依条件设，则。
又，所以。所以12分。
此时。即13分。
4．（2011北京丰台区期末）
设偶函数在上为增函数，且，那么下列四个命题中一定正确的是（d）
5．（2011北京丰台区期末）
定义方程的实数根x0叫做函数的“新驻点”，如果函数，，（的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是（>>
6. （2011北京丰台区期末）
设函数．i）求的单调区间；
ii）当0解：（i）定义域为。
令，则，所以或。
因为定义域为，所以。
令，则，所以．
因为定义域为，所以。
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为。
7分。ii） （
因为0令可得．
所以函数在上为减函数，在上为增函数．
当，即时，在区间上，在上为减函数，在上为增函数．
所以。当，即时，在区间上为减函数．
所以。综上所述，当时，；
当时，14分。
8. （2011北京西城区期末）
已知函数。ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
ⅱ)求的单调区间；
ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围。
解2分。ⅰ），解得3分。
5分。当时，，，
在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是6分。
当时，， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是。 …7分。
当时，， 故的单调递增区间是。 …8分。
当时，， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是。 …9分。
ⅲ）由已知，在上有10分。
由已知，，由（ⅱ）可知，当时，在上单调递增，故，所以，，解得，故。 …11分。
当时，在上单调递增，在上单调递减，故。
由可知，所以13分。
综上所述。9. （2011巢湖一检）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是(b)
a. b. c. d.
10. （2011巢湖一检）已知函数，命题p：
”，则在区间上随机取一个数，命题p为真命题的概率为(b)
abcd.11. （2011巢湖一检）求定积分．
12. （2011巢湖一检）已知．
ⅰ)若在上为增函数，求实数a的取值范围；
ⅱ)当常数时，设，求在上的最大值和最小值。
解：(ⅰ在上为增函数，对恒成立2分。
综合①②得。
18．(2011东莞期末)
已知函数是定义域为的奇函数，且的图象关于直线对称，那么下列式子中对任意恒成立的是 (d) ab.
cd.19．(2011东莞期末)
为了预防流感，某段时间学校对教室用药熏消毒法进行消毒。 设药物开始释放后第小时教室内每立方米空气中的含药量为毫克．已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数）．函数图象如图所示。
根据图中提供的信息，解答下列问题：
1）求从药物释放开始每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
2）按规定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少时间，学生才能回到教室？
解： (1)解：函数图象由两线段与一段指数函数图象组成，两曲线交于点（0.1，1），故t∈（0，0.1]时，由y（毫克）与时间t（小时）成正比，可设。
2分。所以有，即，y=10t4分。
t∈[0.1，+∞时，将（0.1，1）代入，得，即得。
6分。故所求函数关系为：
8分（2）令。
10分。得，，，即小时以。
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