２０１年第１１期数学数学ｉｉ一３
２６５江苏省如皋市教师进修学校徐道。
０１０年江苏高考数学试卷最后一题是：已知△ａｂ的三边长为有理数：
１）求证ｃｏｓ是有理数；
２）对任意正整数礼，求证ｃｏｓ也是有理。
数．这无疑是一道不落俗套、富有创意、难易适。
宜、且有利于高校选拔理科人材的好题．笔者。
同时认为，这道题留给从事中学数学教学的教师（尤其是高三数学教师）的思维空间也相当大，从中可引出一些相当有趣的问题．
这道题的第（２）题实质就是要考生证明如下。
结论：结论１若是三角形的一个内角，且ｃｏｓ是有理数，则对任意正整数ｎ，ｃ都是有理数．
注：本文中，均表示三角形的一个内角．由此结论自然可以引出如下问题：
问题１ｓｉ可为有理数吗？对任意正整。
数佗，ｓｉ都是有理数吗？
显然，ａ＝时，ｓｉ是有理数；也。
很容易得到：对任意正整数礼，ｓｉ也是有理。
数．如果≠９０问题１的结论又是什么呢？
取言，故ａ≠９时，ｓｉ
也可能为有理数．但当ａ＝３时，ｓｉ
不是有理数．于是我们得，ｓｉ为有理数。
时，ｓｉ可以不是有理数．
问题２由问题ｌ的讨论知，若ｓｉｎ为有理数，对任意正整数ｎ，ｓ有可能不是有理数，能否添上新的条件，使ｓｉｎ一定是有理数呢？同样，若ｓｉｎ为有理数，对任意正整数佗，ｃｏ
有可能不是有理数，能否添上新的条件，使ｃｏｓ一定是有理数呢？
通过探索，有如下。
结论２若ｓｉｎ为有理数，则ｎ取正奇数时。
ｉｎｎ必是有理数；ｎ取正偶数时ｃｏｓ必是有理数．
证明：ｎ＝时，结论显然成立。
＝２时为有理数，结论成立．
＝３时，ｓｉ一。
ｓｉｎ一。由于都是有理数，故得ｓｉｎ
也为有理数．已证ｎ＝３时结论也对．
＝４时一１．又已证。
ｏｓ２是有理数，故ｃｏｓ也是有理数，结论亦。
正确．假设ｎ＝ｋ一３、ｋ一２、ｋ一１、ｋ时结论都。
成立，下面证ｎ＝ｋ时结论也成立．
分两种情形考虑：
。设ｋ为偶数，则 ＋１为奇数，＋２为偶数．
一一。一１）ａ妄［ｓｉ
）ａ—一３），
一１）ａ因为ｋ一３、ｋ一１都是奇数，所以由假设。
知ｓｉｎ一３）ａ一１）ａ都是有理数，又知。
ｏｓ２是有理数，故得ｓｉｎ也为有理数．又有。
而由假设一２）ａ都是有理数，ｃｏ也是有理数，所以有ｃｏｓ也是有。
理数．。ｋ为奇数，仿１。可证为有理数也为有理数．
数学教学。由结论３很自然会产生。
０１１年第１１期。
至此已证ｎ＝ 时结论也成立．由数学归纳法原理，ｎ取任何正整数时，结论均成立．
问题４何时ｓｉｎ与ｃｏｓ同为有理数？假设ｓｉｎ与ｃｏｓ都是有理数，则可设ｓｉｎ
有了结论２，并没有解决问题２．为了解决问。
题２，可先解决下列简单的问题：
由。可得ｘ ＋因此。
问题３若ｓｉｎ为有理数，具备什么条件可使ｓｉｎ也是有理数？
由可知，在ｓｉｎ是不为０的有理数的前提条件下，ｓｉ为有理数的充要条件是ｃｏｓ也是有理数．
而由结论２，若ｓｉｎ为有理数，无论ｃ０ｓ是。
得（ｘ，是一组勾股数．特别地，（０是一。
组勾股数．反之，若 、ｙ是一组勾股数，ｓｉ则ｃｏｓ必为有理数．
再依据结论３，有。
结论４设ｓｉｎ是有理数，则ｎ取任何。
否为有理数，ｓｉ为有理数．现在我们来看在正整数时ｓｉｎ都是有理数的充要条件是。
ｉｎ 为不是０的有理数的前提条件下，具备什么（，ｙ是一组勾股数，旦ｒ是ｉｘｌ中最大的．
条件ｓｉｎ为有理数？
由可得ｓｉｎ都是有理数有理数，理。
由如下：由ｓｉｎ是有理数及结论２可得ｓｉｎ是有。
问题５若ｓｉｎ是有理数，但（，ｙ
不是一组勾股数，易证ｓｉｎ一定不是有理数，而是无理数．但能不能说，取任何正偶数时。
ｉｎｎ必为无理数？，不能说举反例如下：当ａ＝３时，ｓｉ
理数，由ｃｏｓ是有理数及结论１可￣ｔ￥也言，但ｓｉｎ
是有理数，故得ｓｉｎ为有理数．
可得ｎ为正偶数时，ｓｉ必是有理数．
再依据结论２，有。
数，而是有理数０．
＇ｕｕ若ｓｉｎ望是有理数，但（，，
ｉｎｎ一定是无理数呢？
读者如果感兴趣，还可提出另外一些问题，更一般地可得，若ｓｉｎ都是有理数，不是一组勾股数，礼取啷些正整数时，能保证。
结论３若ｓｉｎ都是有理数，则ｎ取任何正整数时，ｓｉ也都是有理数．
这些问题如此诱人，值得我们去研究，去探索．结果固然重要，但其过程一定也相当精彩．
上接第ｌ１～页）
断等，不但实现了代数与几何的交融，体现了向量知识的工具性作用，还改变了原有问题的过渡。
ⅱ）证明：点ｒ恒在ｚ轴的上方；（ⅲ过点ｒ作直线ｒ 上ｘ轴，设垂足为，求梯形ｐｑｒ面积的最小值；
不自然的情况．
存在问题：（１第－－ｄ题中四点共圆的知识在初高中中都较少涉及；
２）第三小题作为压轴题的压轴小题，应起。
到应有的压轴作用，似乎难度稍有不足．
ｉｉ）试讨论△ｊｆ兄的形状（钝角三角形、直。
角三角形、锐角三角形）．
设计意图：（１通过改变第－－＝题（ｉ）的设问，把设问改为求梯形ｐｑｒ面积的最小值，避免了四点共。
圆问题的争议，同时也增加了对基本不等式这一。
．第五稿知识点的考查；
题晡口口酌。
ｅ＝＝一ｅ＿。
栅 ）＝通过对第三小题（ｉｉ的讨论，使问题更具。
有。动直线ｍ与函数ｆ（ｘ的图像相切于。
点ｐ（ｔ直线ｎ与函数ｇ（）的图像相切于点设直线ｍ、礼相交于点ｒ．
ｉ）用ｔ表示直线ｒｐ、的斜率；
度、难度．上述所给出的题目是在命制该试题的过程中较为典型的几稿，当然，其中还有许多细微的。
调整，这里不再赘述．
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