何小亚华南师范大学数学科学学院 510631
今年，笔者有幸负责广东高考数学理科卷压轴题20题的阅卷工作。下面就答卷中反映出的一些问题进行分析，以供广大的一线数学教师参考。
1.原题展示。
20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.(1) 求椭圆的方程；(2) 在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大？
若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由。
2.解法分析。
2.1 第1问的解法，即椭圆的方程为。
设为椭圆上任意给定的一点，则。
以下分。方法一：
）若，此时，时，，即。
由此得。 ）此时，时，解得，.
方法二：由题设存在点满足，则，.
当时，由于时，取得最大值。，解得。
因此，所求椭圆的方程为。
2.2第2问的解法。
第二问的各种解法的区别本质上是面积的表达式与求最值的方法的区别。
方法一：假设点存在，则有。 ①设圆心到直线的距离为，则，即。又，.
当且仅当，即 ②时，等号成立。
由①②解得，于是所求的点的坐标是。
此时，对应的诸三角形的面积均达到最大值。
方法二：假设点存在，则有。设圆心到直线的距离为，则，即。，，于是，=.
当且仅当即时，等号成立。所以，.
下同方法一 ……
方法三：设，. 当，即时，.此时，点到直线的距离。而，由此得。 下同方法一 ……
方法四：由方法一得 .
当③时，等号成立。 由①③，解得 .
下同方法一 ……
方法五：方法四是消掉面积函数中的，方法五是消掉，解法类似，此略。
方法六：. 令，设。 于是，. 当时，等号成立。
解得，，.故所求的点坐标为。此时对应的诸三角形的面积均达到最大值。
方法七：若点存在，则有。圆心到直线的距离。假设直线与圆相交于不同的两点、.则。
ⅰ）若，由得；再由得。
所以，，于是，故，.
ⅱ）若，由得，代入，消去，得。
由题设知。于是， .
因此，. 以下部分参照对应方法。
一、四、五、六进行，此处省略。
方法八：除了方法三之外，前面的方法都是利用均值不等式来讨论面积的最大值问题。事实上，也可以用导数工具来求解的最值问题，此处省略。
2.3 考生解法讨论。
在全省30余万理科考生中，本题满分是352人，对满分者进行抽样统计，第2问有5%的用方法一；有22%的用方法二；有4%的用方法三；有6%的用方法七（韦达定理、直线交圆锥曲线的弦长公式）；有60%的用方法。
四、五、六。
方法。一、二、三是最简单的，但满分者中只有31%的人会用。而有69%的满分者使用了复杂的解法。
四、五、六、七。尤其是最简单的解法三，居然仅有4%的满分考生使用了此方法。由此可见，运用恰当的数学方法解决问题的能力有待提高。
第1问满分是7分，第二问能正确得出的结果可以得2分。对得8分的考生进行抽样统计，有高达27%的考生使用了韦达定理与弦长公式，但因运算量太大、太复杂而算不出，丢掉了6分。使用韦达定理与弦长公式来求是最笨的方法，简直是“杀鸡用牛刀且杀不死！
”之所以出现如此之多的考生如此钟爱韦达定理，可能与教师平时训练太多的韦达定理与弦长公式解题有关，形成了条件反射：“直线交曲线弦长公式”.
自从2023年实施新课程高考以来，独立命题的广东卷严格执行不考察韦达定理的超纲试题，况且2023年，笔者在文[1]早就指出了韦达定理的“祸害”，但不知何故，中学数学教师尤其是高三的数学教师至今还对韦达定理、弦长公式念念不忘？又误导了这么多考生，老师们，该醒醒了！！
3.典型错误。
1）看到离心率，有不少考生就认为： ，从而得出答案；
2）有很多考生凭直观，认为下顶点或左右端点是取得最大值点而得出答案；
3）绝大多数的考生忘了讨论，或没有证明的情况；
4）得出方程后，设点是椭圆上的点，则。消去，得。由解得。
故所求方程为。
注意：二次曲线与二次曲线相交、相切、相离与对应的判别式的符号没有必然关系。 例如，由与消去后得到，此时有，但是此抛物线与单位圆相切于原点，又相交于另外的两点。
5) 相当多的考生因使用韦达定理而求不出；
6）在方法七中，由得时，没有讨论的情况。
事实上，由与可以直接消去，没必要写出，这样就可以避免讨论的情况。
4.教学反思。
作为压轴题，一方面，本题貌是**性问题，但事实上其**味不浓，也就是一个简单的二次函数是否有最值的问题；另一方面，此题比较常规，比考生平时训练的压轴题简单得多，但考生们实际的答题效果很差。在前面几乎没有难题的情况下，此题全省的平均分只有1.93分。
说明我们的教学仍然存在着严重的问题。笔者在此重申：
机械的题海训练难以使学生真正理解数学。
训练过度，学生都练傻了，**还会问题解决呢？
学生掌握了一些没有思想灵魂的各种解题之“术”，自然一进考场就想“大显身手”，**还会问题解决呢？
有几位教师敢对着学生讲：“同学们，我讲过的题高考是不会考的。高考题是原创的，简单的，考的是独立的问题解决能力．我要大家学会的是这样一些本领……”
新中考、新高考就是要我们回归基础，老老实实教点数学，不要总是把做题，讲题当成是教数学。
新课程、新中考、新高考就是要以理解为价值取向，以问题解决为价值取向，以数学**为价值取向。
新中考、新高考考什么？考数学理解！考数学问题解决！考数学**！
猜题，押题，套题，搞信息题该停止了！
回归课本，回归基础是正确的方向！
理解数学概念本质，抓住数学原理结构，学会数学问题解决是数学教学的核心！
让我们的学生学会以不变应万变吧！
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