一、填空题（每小题4分，共56分）
1．已知集合，若，则实数的取值范围是．
2．函数的最小正周期为 ．
3．在等差数列中，已知则 42 ．
4．若，是直线的倾斜角，则用的反正切表示）
5．设（i为虚数单位），则 ．
6．直角坐标系内有点a（2，1），b（0，2），将线段绕直线旋转一周，所得到几何体的体积为。
7.已知平面向量，若，则。
8．设，行列式中第3行第2列的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则 ．
9．某学生参加3门课程的考试。假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为， ，且不同课程是否取得合格水平相互独立。则该生只取得一门课程合格的概率为。
10．已知是椭圆上的一点，为椭圆的左、右焦点，则的最小值为。
11．已知是等差数列，设．某学生设计了一个求的算法框图（如图），图中空白处理框中是用的表达式对赋值，则空白处理框中应填入。
12．不等式对一切非零实数均成立，则实数的范围为。
13．平面直角坐标系中，为坐标原点。定义、两点之间的“直角距离”为，已知点，点m是直线上的动点，的最小值为。
14．当为正整数时，用表示的最大奇因数，如，设，则数列的前项和的表达式为。
二、选择题（每小题5分，共20分）
15．已知，是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ c ）
a） 若， ,则； （b）若， ,则；
c）若， ,则； （d） 若， ,则；
16．以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（ d ）
a）笛卡儿—解析几何b）帕斯卡—概率论；
c）康托尔—集合论d）祖暅之—复数论；
17．已知各项均不为零的数列，定义向量，，.下列命题中真命题是（ a ）
a) 若总有成立，则数列是等差数列。
b) 若总有成立，则数列是等比数列。
c) 若总有成立，则数列是等差数列。
d) 若总有成立，则数列是等比数列。
18．方程的正根从小到大地依次排列为，则正确的结论为（ b ）
ab） cd）
三、解答题（12+14+14+16+18，共74分）
19．已知向量（为常数且），函数在上的最大值为．
（1）求实数的值；
（2）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，若在上为增函数，求的最大值．
解：（1）因为函数在上的最大值为，所以故
2）由（1）知：，把函数的图象向右平移个单位，可得函数。
又在上为增函数，的周期即。
所以的最大值为2
20．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，是的中点，是的中点，点在上，且满足。
1）证明：；
2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角的最大值的正切值。
解：(1)以分别为轴，建立空间直角坐标系则（2）显然平面的一个法向量为。
则（*）于是问题转化为二次函数求最值，而，当最大时，最大，即最大，由（*）式：时，
21．近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售**平均为100元，生产成本为80元。从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。设第n年每件小挂件的生产成本元，若玉制产品的销售**不变，第n年的年利润为万元（今年为第1年）
1）求利润的表达式；
2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？
解：（1）2），故，当时，最大，最高利润为520万元。
22．存在对称中心的曲线叫做有心曲线．显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线．若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径．
1）已知点，求使面积为时，椭圆的直径所在的直线方程；
2）若过椭圆的中心作斜率为的直线交椭圆于两点，且椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，长度为半径作⊙，问是否存在定圆⊙，使得⊙恒与⊙相切？若存在，求出⊙的方程。若不存在，请说明理由。
3）定理：若过圆的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值．请对上述定理进行推广．
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分．
解：（1）设直线的方程为，代入椭圆方程得， 则。解得
故直线的方程为。
2）存在⊙：与⊙恒相切，圆心为椭圆的左焦点。
由椭圆的定义知，
两圆相内切。
3）根据结论的一般性程度给与不同的评分．（问题1-4层）
过圆的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值．
若过圆的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值．
过椭圆的一条直径的两个端点与椭圆任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值．
过有心圆锥曲线的一条直径的两个端点与曲线上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值．
证明：设曲线上任一直径为异于的曲线上任一点。
设，因为在曲线上，所以。
23．已知数列中，，
1）试求的值，使数列是一个常数列；
2）试求的取值范围，使得数列是单调增数列；
3）若不为常数列，设，为数列的前项和，请你写出的一个值，
使得恒成立，并说明理由。
解：（1）由及得。
时，为常数数列。
与同号。要使对任意正整数n都成立，只须即解得。
当时，对任何正整数成立。
3）选择时，由（2）的结论知。
又解得故。
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