专题达标检测集合函数。
一、选择题。
1．设⊕是r上的一个运算，a是r的非空子集．若对任意a、b∈a，有a⊕b∈a，则。
称a对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都。
封闭的是 (
a．自然数集b．整数集。
c．有理数集d．无理数集。
解析：a：自然数集对减法，除法运算不封闭，如1－2＝－1n，1÷2＝n.
b：整数集对除法运算不封闭，如1÷2＝z.
c：有理数集对四则运算是封闭的．
d：无理数集对加法、减法、乘法、除法运算都不封闭．
如(＋1)＋(1－)＝2，＝0，×＝2，＝1，其运算结果都不属于无理数集．
答案：c2．(2010·武汉质检)若x，y∈r，则“x>1或y>2”是“x＋y>3”的。
a．充分而不必要条件。
b．必要而不充分条件[
c．充分必要条件[
d．既不充分也不必要条件。
解析：本题考查充分必要条件的判断．
据已知若x>1或y>2/ x＋y>3，反之研究当x＋y>3时是否推出x>1或y>2，由于命题：x≤1且y≤2x＋y≤3为真，其逆否命题即为x＋y>3x>1或y>2，由命。
题的等价性可知命题为真，因此x>1或y>2是x＋y>3成立的一个必要但不充分条件．
答案：b3．(2010·济南模拟)为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象。
a．向右平移个单位长度。
b．向右平移个单位长度。
c．向左平移个单位长度。
d．向左平移个单位长度。
解析：本题考查函数图象的平移变换．
由y＝cos 2xy＝siny＝siny＝siny＝sin2，又y＝siny＝sin2，可见由y＝sin2的图象向右移动＋＝＝个单位，得到y＝sin2 [
的图象．答案：b
4．已知抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点f的任一直线与抛物线交于m、n两点，则＋
为定值 (
abcd.
解析：取通径mn，则|fn|＝|fm|＝p，＝.
答案：b5．(2009·江西)甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相。
等，现任意将这4个队分成两个组(每组两个队)进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇。
的概率为 (
abcd.
解析：甲、乙两队分到同组概率为p1＝，不同组概率为p2＝，又∵各队取胜概率。
均为，甲、乙两队相遇概率为p＝＋×
答案：d6．(2009·陕西)定义在r上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞x1≠x2)，有。
0，则 (
a．f(3)b．f(1)c．f(－2)d．f(3)解析：对任意x1，x2∈[0，＋∞x1≠x2)，有<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异。
号，因此函数f(x)在[0，＋∞上是减函数．又f(x)在r上是偶函数，故f(－2)＝f(2)，由于3>2>1，故有f(3)答案：a
二、填空题。
7．(2009·广东理)若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a
解析：∵|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，故a＋b＝(1,0)或(－1，0)，∴a＝(1,0)－(2，1)＝(1,1)或a＝(－1,0)－(2，－1)＝(3,1)．
答案：(－1,1)或(－3,1)
8．已知f(x)是定义在(－∞0)∪(0，＋∞上的奇函数，且当x∈(0，＋∞时，f(x)单调。
递增，又f＝0, 设a是三角形的一内角，满足f(cos a)<0，则a的取值范围是。
解析：作出满足题意的特殊函数图象，如图所示，由图知，0∴答案：∪
9．若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围是。
解析：考虑命题：“存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立”的否定为。
任取a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立“.变换主元得到f(a)＝a(x2
x)－2x－2≤0，对任意的a∈[1,3]恒成立，则只要满足f(1)≤0且f(3)≤0即可，所。
以－1≤x≤，故x的取值范围是x<－1或x>.
答案：x<－1或x>
10．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少有一个值c，使。
f(c)>0，则实数p的取值范围为___
解析：此题从反面分析，采取补集法则比较简单．如果在[－1，1]内没有点满足。
f(c)>0，则。
p≤－3或p≥.
取补集为，即为满足条件的p的取值范围．
答案：－3三、解答题。
11．设函数f(x)＝cos＋sin2x.
1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
2)设a，b，c为△abc的三个内角，若cos b＝，f＝－，且c为锐角，求sin a.
解：(1)f(x)＝cos 2xcos－sin 2xsin＋＝
cos 2x－sin 2x＋－cos 2x
－sin 2x.
所以当2x＝－＋2kπ，即x＝－＋kπ(k∈z)时，f(x)取得最大值，[f(x)]最大值＝，f(x)的最小正周期t＝＝π故函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.
2)由f＝－，即－sin c＝－，解得sin c＝.
又c为锐角，所以c＝.由cos b＝求得sin b＝.
因此sin a＝sin[π－b＋c)]＝sin(b＋c)
sin bcos c＋cos bsin c
12．(2009·全国ⅰ理)在数列中，a1＝1，an＋1＝an＋.
1)设bn＝，求数列的通项公式；
2)求数列的前n项和sn.
解：(1)由已知得b1＝a1＝1，且＝＋，即bn＋1＝bn＋，从而b2＝b1＋，b3＝b2＋，bn＝bn－1＋(n≥2)．
于是bn＝b1＋＋＋2－(n≥2)．
又b1＝1，故所求的通项公式bn＝2－.
2)由(1)知an＝2n－，故。
sn＝(2＋4＋…＋2n)－，设tn＝1＋＋＋
tn＝＋＋－②得，tn＝1＋＋＋
tn＝4－.
sn＝n(n＋1)＋－4.
13．如图所示，椭圆c：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为f(1,0)，且过点(2,0)．
1)求椭圆c的方程：
2)若ab为垂直于x轴的动弦，直线l：x＝4与x轴交于点n，直线af与bn交于。
点m，ⅰ)求证：点m恒在椭圆c上；
ⅱ)求△amn面积的最大值．
方法一：(1)解：由题设a＝2，c＝1，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆c的方程为＋＝1.
2)(i)证明：由题意得f(1,0)、n(4,0)．
设a(m，n)，则b(m，－n)(n≠0)，＋1.①
af与bn的方程分别为：n(x－1)－(m－1)y＝0，n(x－4)＋(m－4)y＝0.
设m(x0，y0)，则有。
由②③得x0＝，y0＝.由于＋＝＋
所以点m恒在椭圆c上．
ⅱ)解：设am的方程为x＝ty＋1，代入＋＝1，得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0.
设a(x1，y1)、m(x2，y2)，则有y1＋y2＝
y1y2＝，y1－y2|＝＝
令3t2＋4＝λ(4)，则。
y1－y2|＝
4，因为λ≥4,0<≤，所以当＝，即λ＝4，t＝0时，|y1－y2|有最大值3，此时am过点f.△amn的面积s△amn＝|nf|·|y1－y2|有最大值。
方法二：(1)同方法一．
2)(ⅰ证明：由题意得f(1,0)、n(4,0)，设a(m，n)，则b(m，－n)(n≠0)，＋1.①
af与bn的方程分别为n(x－1)－(m－1)y＝0，②
n(x－4)＋(m－4)y＝0.③
由②③得：当x≠时，m＝，n＝.④
把④代入①，得＋＝1(y≠0)．
当x＝时，由②③得。
解得与n≠0矛盾．
所以点m的轨迹方程为＋＝1(y≠0)，即点m恒在椭圆c上．
ⅱ)同方法一。
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