作者：雷云。
**：《高中生·高考指导》2024年第01期。
一、考查三角函数的图像与性质。
1.选择题。
例1 （大纲全国理科卷第5题）设函数f（x）＝cos ωx（ω>0），将y= f（x）的图像向右平移■个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于。
a.■ b.3 c.6 d.9
难度系数 0.72
解据题意知f（x-■）cos[ω（x-■）cos ωx，即cos（ωx-■）cos ωx，∴-2kπ+2π（k∈z），即ω＝-6k-6.∴当k＝-2时，ωmin= 6.选c.
2.填空题。
例2 （辽宁理科卷第16题）已知函数f（x）＝a·tan（ωx+φ）0，｜φ
难度系数 0.80
解由图像可知，函数f（x）的周期是22.
由atan φ＝1，atan（2·■+0，得φ＝■a＝1.∴ f（x）＝tan（2x+■）f（■）tan（2×■+tan ■=
3.解答题。
例3 （浙江文科卷第18题）已知函数f（x）＝asin（■x+φ）x∈r，0
ⅰ）求 f（x）的最小正周期及φ的值；
ⅱ）若点r的坐标为（1，0），∠prq=■，求a的值。
难度系数 0.68
解 （ⅰ由题意可得t＝■＝6.∵点p（1，a）在y=asin（■x+φ）的图像上，∴sin（■+1.又0
ⅱ）设点q的坐标为（x0，-a）.由题意可知■x0+■＝得x0＝ 4.于是可知点q的坐标为（4，-a）.
连接pq，在△prq中，∠prq=■，由余弦定理得cos∠prq=■＝解得a2=3.又a>0，∴a＝■.
小结图像变换是历年高考考查三角函数的重要内容。解决此类问题的关键是理解a，ω，的意义，特别是ω的判定以及伸缩变换对φ的影响。需要提醒的是，函数y=asin（ωx+φ）中的ω对函数图像变换的影响是历年考生的易错点，同时也是高考的重点，同学们务必要加以重视。
另外，三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、有界性、对称性等）也是每年高考的必考点，同学们务必要能够灵活运用。
二、考查三角函数的化简求值。
1.选择题。
例4 （浙江理科卷第6题）若0
a.■ b.-■c.■ d.-■
难度系数 0.85
解又sin（■+sincos（α+coscos（■+cos（■-sin（■+sin选c.
2.填空题。
例5 （江苏卷第7题）已知tan（x+■）2，则■的值为 .
难度系数 0.80
解 ∵tan2（x而tan（2x+■）cot 2x，∴tan 2x＝■.又tan（x+■）2，∴tan x
3.解答题。
例6 （江西理科卷第17题）在△abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，已知sin c+cos c=1-sin ■.
1）求sin c的值；
2）若a2+b2＝ 4（a+b）-8，求边c的值。
难度系数 0.78
解 （1）由已知得sin c+ sin ■＝1- cos c，即sin ■·2cos ■+1）=2sin2■.由sin ■≠0，得2cos ■+1＝2sin ■，即sin ■-cos ■＝将上述等式两边平方，得sin c＝■.
2）由sin ■-cos ■＝0，可知■
小结三角函数的化简求值题主要考查三角函数的变换。解答此类问题应根据题目的特点，灵活地正用、逆用、变形运用和角、差角、倍角公式和诱导公式，进行化简并求值。
三、考查三角形中的三角函数。
1.选择题。
例7 （四川理科卷第6题）在△abc中，sin2a≤sin2b+sin2c-sin bsin c，则a的取值范围是。
a.（0，■]b.[■c.（0，■]d.[■
难度系数 0.75
解由正弦定理得a2≤b2+c2-bc.由余弦定理得a2＝b2+c2-2bccos a，于是可知cos a≥■.又0< a
2.填空题。
例8 （北京理科卷第9题）在△abc中，若b＝5，∠b＝■，tan a=2，则sin a= ；a ＝
难度系数 0.90
解由tan a=2，得sin a=■.由正弦定理易求得a＝2■.
3.解答题。
例9 （山东文科卷第17题）在△abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知■＝■
ⅰ）求■的值；
ⅱ）若cos b＝■，abc的周长为5，求b的长。
难度系数 0.65
解 （ⅰ设■＝■k，则有■＝■即■＝■整理得sin（a+b）＝2sin（b+c）.
又a+b+c＝π，则sin c＝2sin a，所以■＝2.
ⅱ）由■＝2，得c＝2a .由余弦定理及cos b＝■，得b2＝a2+c2-2accos b=a2+4a2-4a2×■＝4a2.所以b＝2a.
又a+b+c＝5，解得a＝1.所以b＝2.
小结三角形中的三角函数问题主要考查在三角形中三角函数的利用。解答此类问题的关键是在化归与转化思想的指导下，正确、灵活地运用三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理、三角形的面积以及三角函数的变换等知识进行边与角的转化。
四、考查三角函数的最值。
例10 （湖南文、理科卷第17题）在△abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且满足csin a＝acos c.
ⅰ）求角c的大小；
ⅱ）求■sin a-cos（b+■）的最大值，并求取得最大值时角a，b的大小。
难度系数 0.68
解 （ⅰ由正弦定理得sin csin a＝sin acos c.∵00.于是有sin c＝cos c.又cos c≠0，∴tan c=1，即c=■.
ⅱ）由（ⅰ）可知b＝■-a.于是有■sin a-cos（b+■）sin a-cos（π-a）＝■sin a+cos c＝2sin（a+■）0< a
综上所述，■sin a-cos（b+■）的最大值为2，此时a＝■，b＝■.
小结三角函数的最值问题主要考查考生综合运用三角函数公式的能力，灵活应用三角形的有关知识解答三角函数最值问题的能力，以及分析问题与解决问题的能力。三角形中的三角函数最值问题仍将是高考考查的热点内容。
责任编校/周峰）
2024年高考数学三角函数
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