2023年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编。
第三章《数列》
一、选择题（共18题）
1．（北京卷）设，则等于。
（a） （b） （cd）
解：依题意，为首项为2，公比为8的前n＋4项求和，根据等比数列求和公式可得d
2．（北京卷）如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么。
a）b=3,ac=9 (b)b=-3,ac=9 (c)b=3,ac=-9 (d)b=-3,ac=-9
解：由等比数列的性质可得ac＝（－1）×（9）＝9，b×b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3，选b
3．（福建卷）在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于。
a.40b.42c.43d.45
解：在等差数列中，已知∴ d=3，a5=14， =3a5=42，选b.
4．（广东卷）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为。
a.5b.4c. 3d. 2
解：，故选c.
5．（湖北卷）若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则。
a．4 b．2 c．－2 d．－4
解：由互不相等的实数成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选d
6．（湖北卷）在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9=
a. 81b. 27cd. 243
解：因为数列｛an｝是等比数列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝
a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）＝（a1a10）4＝34＝81，故选a
7．（江西卷）已知等差数列｛an｝的前n项和为sn，若，且a、b、c三点共线（该直线不过原点o），则s200＝（
a．100b. 101c.200d.201
解：依题意，a1＋a200＝1，故选a
8．（江西卷）在各项均不为零的等差数列中，若，则（ ）
解：设公差为d，则an＋1＝an＋d，an－1＝an－d，由可得2an－＝0，解得an＝2（零解舍去），故2×（2n－1）－4n＝－2，故选a
9．（辽宁卷） 在等比数列中， ,前项和为，若数列也是等比数列，则等于。
abcd)
解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则。
即，所以，故选择答案c。
点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。
10．（全国卷i）设是公差为正数的等差数列，若，，则。
abcd．
解析】是公差为正数的等差数列，若，，则，，∴d=3，， 选b.
11．（全国卷i）设是等差数列的前项和，若，则。
abcd．
解析】是等差数列的前项和，若∴，选d.
12．（全国ii）设sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝
abcd）解析：由等差数列的求和公式可得且。
所以，故选a
点评】本题主要考察等比数列的求和公式，难度一般。
13．（全国ii）已知等差数列中，，则前10项的和＝
a）100b)210c)380d)400
解：d＝，＝3，所以＝210，选b
14．(陕西卷)已知等差数列中，a2+a8=8,则该数列前9项和s9等于( )
a.18b.27c.36d.45
解：在等差数列中，a2+a8=8，∴，则该数列前9项和s9==36，选c
15．（天津卷）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（ ）
a．55 b．70 c．85 d．100
解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于=，，选c.
16．（天津卷）设是等差数列，，，则这个数列的前6项和等于（ ）
解：是等差数列， ∴则这个数列的前6项和等于，选b.
17．(重庆卷)在等差数列｛an｝中，若aa+ab=12,sn是数列｛an｝的前n项和，则sn的值为。
a）48b)54c)60d)66
解：在等差数列中，若，则，是数列的的前n项和，则==54，选b.
18．(重庆卷)在等差数列中，若且，的值为。
a）2b）4c）6d）8
解：a3a7＝a52＝64，又，所以的值为8，故选d
二、填空题（共7题）
19．（广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.
解： 10，
20．（湖南卷） 若数列满足：，2，3….则 .
解：数列满足：，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴
21．（江苏卷）对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是
思路点拨】本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式。
正确解答】，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n
切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2
解后反思】应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点。否则容易出错。
22．（山东卷）设为等差数列的前n项和，＝14，s10－＝30，则s9＝ .
解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得。
联立解得a1=2,d=1，所以s9＝
23．（浙江卷）设为等差数列的前项和，若，则公差为 （用数字作答）。
考点分析】本题考查等差数列的前项和，基础题。
解析：设首项为，公差为，由题得。
名师点拔】数学问题解决的本质是，你已知什么？从已知出发又能得出什么？完成了这些，也许水到渠成了。本题非常基础，等差数列的前项和公式的运用自然而然的就得出结论。
24．(重庆卷)在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an
解析：在数列中，若，∴，即{}是以为首项，2为公比的等比数列，，所以该数列的通项。
25．(重庆卷)在数列中，若，，则该数列的通项 。
解：由可得数列为公差为2的等差数列，又，所以2n－1
三、解答题（共29题）
26．（安徽卷）数列的前项和为，已知。
ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；
ⅱ）设，求数列的前项和。
解：由得：，即，所以，对成立。
由，，…相加得：，又，所以，当时，也成立。
ⅱ）由，得。
而，27．（安徽卷）在等差数列中，，前项和满足条件，
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）记，求数列的前项和。
解：（ⅰ设等差数列的公差为，由得：，所以，即，又＝，所以。
ⅱ）由，得。所以，当时，；
当时，即。28．（北京卷）在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.
ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
ⅱ）若“绝对差数列”中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项。
解：（ⅰ答案不惟一）
ⅱ）因为在绝对差数列中，.所以自第 20 项开始，该数列是， ,即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限不存在。 当时， ,所以。
（ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项。证明如下。
假设中没有零项，由于，所以对于任意的n，都有，从而。
当时，;当时，
即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令。则。
由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项，这与()
矛盾。 从而必有零项。
若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，, 即。
所以绝对差数列中有无穷多个为零的项。
29．（北京卷）设等差数列的首项a1及公差d都为整数，前n项和为sn.
ⅰ)若a11=0,s14=98,求数列｛an｝的通项公式；
ⅱ)若a1≥6，a11＞0，s14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式。
解：（ⅰ由s14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20.
因此，的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…
ⅱ）由得即。
由①+②得－7d＜11。即d＞－。
由①+③得13d≤－1，即d≤－
于是－＜d≤－
又d∈z,故d=－1
将④代入①②得10＜a1≤12.
2023年高考数列题
2008年高考数列题选 文 1 北京7 已知等差数列 an 中，a2 6,a5 15.若bn a2n,则数列 bn 的前5项和等于 a 30b 45 c 90d 186 北京20，总20 数列满足。当a2 1时，求 及a3的值 数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式 若不可能，说明理由 求...
2023年高考数列
课标理数湖北卷 九章算术 竹九节 问题 现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升 课标理数湖北卷 解析 设所构成的等差数列的首项为a1，公差为d，由得解得所以a5 a1 4d 课标理数湖北卷 已知数列的前n项和为sn，且满足 ...
2023年高考数列
17 2014 江西卷 已知数列的前n项和sn n n 1 求数列的通项公式 2 证明 对任意的n 1，都存在m n 使得a1，an，am成等比数列 18 2014 江西卷 已知函数f x 4x2 4ax a2 其中a 0.1 当a 4时，求f x 的单调递增区间 2 若f x 在区间 1，4 上的...