1.（江苏2023年16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。
1）求数列的通项公式（用表示）；
2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。
答案】解：（1）由题意知：，
化简，得：
[**：]当时，，适合情形。
故所求。2），恒成立。
又，故，即的最大值为。
考点】等差数列的通项、求和以及基本不等式。
分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于、的方程，求出，从而推出，再利用与的关系求出。
2）利用（1）的结论，对进行化简，转化为基本不等式问题求解，求出的最大值的范围。
2.（江苏2023年16分）设m为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数属于m，当》时，都成立。
1）设m=｛1｝，，求的值；（2）设m=｛3，4｝，求数列的通项公式。
答案】解：（1）由题设知，当时，即。
又，∴当时，，∴的值为8。
2) 由题设知， 当，且时，且，两式相减得，即，当时，成等差数列，也成等差数列。
当时， ，且。
当时，，即。
当时，成等差数列，从而。
由式知，即。
当时，设，当时，，从而由式知，从而，。∴对任意都成立。
又由（可知，且。解得。∴，
数列为等差数列，由知，所以数列的通项公式为。
考点】数列递推式，数列与函数的综合。
分析】（1）由集合m的元素只有一个1，得到=1，所以当大于1即大于等于2时，都成立，变形后，利用化简，得到当大于等于2时，此数列除去首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2，所以把=5代入通项公式即可求出第5项的值；
2）由，利用数列递推式得到，从而求出，得到数列的通项公式。
3.（江苏2023年附加10分）设整数，是平面直角坐标系中的点，其中，．
1）记为满足的点的个数，求；
2）记为满足是整数的点的个数，求．
答案】解：（1）∵点的坐标满足条件，∴。
2）设为正整数，记为满足条件以及的点的个数。
只要讨论的情形：
由，知，且，设，其中，则，∴，将代入上式，化简得，∴。
考点】计数原理，数列递推式。
分析】（1）为满足的点p 的个数，显然的坐标的差值，与中元素个数有关，直接写出的表达式即可。
2）设为正整数，记为满足题设条件以及的点的个数，讨论≥1的情形，推出，根据的范围，说明是3的倍数和余数，然后求出。
4.（2023年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，1）设，，求证：数列是等差数列；
2）设，，且是等比数列，求和的值．
答案】解：（1）∵，
数列是以1 为公差的等差数列。
设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明。
若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。
若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。
∴综上所述，。∴
又∵，∴是公比是的等比数列。
若，则，于是。
又由即，得。
∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。
考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。
解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。
2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。
从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。
5、（2013江苏卷19）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，，其中为实数。[**：z。xx。
1）若，且成等比数列，证明：（）
2）若是等差数列，证明：。
证明：∵是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。
成等比数列 ∴∴
[**：学科网zxxk]
左边= 右边=
左边=右边∴原式成立。
2）∵是等差数列∴设公差为，∴带入得：
∴对恒成立。
由①式得由③式得：.
法二：证：（1）若，则，，．
当成等比数列，即：，得：，又，故．
由此：，，故：（）
若是等差数列，则型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而≠0，故．
经检验，当时是等差数列．
6、（2013江苏卷23）卷ⅱ 附加题。
23．设数列，即当时，，记，对于，定义集合[**：学科网]
1）求集合中元素的个数； （2）求集合中元素的个数。
分析：本题主要考察集合．数列的概念与运算．计数原理等基础知识，考察**能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力。
1）解：由数列的定义得，
集合中元素的个数为5.
2）证明：用数学归纳法先证。
事实上，1 当时， 故原式成立。
2 假设当时，等式成立，即故原式成立。
则：，时，综合①②得： 于是。
由上可知：是的倍数。
而，所以是。
的倍数。又不是的倍数，而。
所以不是的倍数。
故当时，集合中元素的个数为。
于是当时，集合中元素的个数为。
又。故集合中元素的个数为。
7.（2014江苏卷20）设数列的前项和为。若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.
1）若数列的前项和为，证明：是“数列”.
2）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值；
3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立。
答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查**能力及推理论证能力， 满分16分。
1）当时，；当时，.
时，，当时，∴是“h数列”
对，使，即。
取得， ，又，∴，
3）设的公差为d.令，对，
对， 则，且为等差数列。
的前n项和，令，则。
当时；当时；
当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，
因此对，都可找到，使成立，即为“h数列”．
的前ｎ项和，令，则。
对，是非负偶数，∴
即对，都可找到，使得成立，即为“h数列”
因此命题得证。
江苏省2023年高考数学热点题型聚焦数列 2
数列综合题两题。1.等差数列的各项均为正数，前项和为，为等比数列，且 1 求与 2 求数列的前项和。3 若对任意正整数和任意恒成立，求实数的取值范围 解 1 设的公差为，的公比为，则为正整数，依题意有，即，解得或者 舍去 故5分。两式相减得。所以10分。14分。问题等价于的最小值大于或等于，即，即，...
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