第四节函数y＝asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用。
1．(a.杭州模拟)如图是函数y＝asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象，此函数的解析式可为( )
a．y＝2sin
b．y＝2sin
c．y＝2sin
d．y＝2sin
2．(a.宁波模拟)设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
a. b．3
c．6 d．9
3．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
如图所示，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p(x，y)．若初始位置为p0，当秒针从p0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点p的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
a．y＝sin b．y＝sin
c．y＝sin d．y＝sin
5．(a.福建高考)将函数y＝sin x 的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x) 的图象，则下列说法正确的是 (
a．y＝f(x)是奇函数。
b．y＝f(x)的周期为π
c．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称。
d．y＝f(x)的图象关于点对称。
a.金华模拟)函数y＝asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为( )
a．y＝－4sin
b．y＝4sin
c．y＝－4sin
d．y＝4sin
7．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f
8．若将函数y＝sin (ω0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则ω的最小值为___
9．已知函数f(x)＝mcos(ωx＋φ)m＞0，ω＞0,0＜φ＜为奇函数，该函数的部分图象如图所示，ac＝bc＝，c＝90°，则f的值为___
10．(b.安徽高考)设函数f(x)＝sin x＋sin.
1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
2)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变化得到．
11．设x∈r，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
1)求ω和φ的值；
2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；
3)若f(x)＞，求x的取值范围．
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)cos(ωx＋φ)0＜φ＜0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为。
1)求f的值；
2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．冲击名校]
已知a，b，c，d是函数y＝sin(ωx＋φ)0,0＜φ＜一个周期内的图象上的四个点，如图所示，a，b为y轴上的点，c为图象上的最低点，e为该函数图象的一个对称中心，b与d关于点e对称，cd―→在x轴上的投影为，则ω，φ的值为 (
a．ω＝2，φ＝b．ω＝2，φ＝
c．ω＝d．ω＝
2．已知直线y＝b(b＜0)与曲线f(x)＝sin在y轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列，则b的值是___
高频滚动]1．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)b对任意实数x有fx＋＝f(－x)成立，且f＝1，则实数b的值为( )
a．－1 b．3 c．－1或3 d．－3
2．函数y＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为( )
a. b.
c. d.
答案。[全盘巩固]
1．解析：选b 由题图可知a＝2，－＝t＝π，2，f(x)＝2sin(2x＋φ)又f＝2sin＝2，即－＋φ2kπ，k∈z，φ＝2kπ(k∈z)，结合选项知选b.
2．解析：选c 将f(x)的图象向右平移个单位长度得g(x)＝cos＝cos，则－ω＝2kπ(k∈z)，即ω＝－6k(k∈z)．∵0，∴k＜0.∴当k＝－1时，ω有最小值6.
3．解析：选a 把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cos x＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝cos(x＋1)的图象，故选a.
4.解析：选c 由题意可得，函数的初相位是，排除b、d.又函数周期是60秒且秒针按顺时针旋转，即t＝＝60，所以|ω|即ω＝－故y＝sin.
5．解析：选d 函数y＝sin x的图象向左平移个单位后，得到函数f(x)＝sin＝cos x的图象，f(x)＝cos x为偶函数，a错；f(x)＝cos x的周期为2π，b错；因为f＝cos＝0，所以f(x)＝cos x不关于直线x＝对称，c错；函数f(x)的对称中心是点k∈z，d对．
6.解析：选a 根据正弦函数y＝asin(ωx＋φ)0，|φ的图象的性质可得t＝2×|6－(－2)|＝16，故ω＝＝又根据图象可知f(6)＝0，即asin＝0.
由于|φ|故只能×6＋φ＝解得φ＝，即y＝asinx＋，又由f(2)＝－4，即asin＝－4，解得a＝－4，故f(x)＝－4sin.
7．解析：依题意＝，∴4.
f(x)＝tan 4x.
f＝tan π＝0.
答案：08．解析：y＝sin＝sin，y＝sin＝sin，由题意知，当－＝时，ω最小，解得ω＝.
答案：9．解析：依题意知，△abc是直角边长为的等腰直角三角形，因此其边ab上的高是，函数f(x)的最小正周期是2，故m＝，＝2，ω＝f(x)＝cos(πx＋φ)又函数f(x)是奇函数，于是有φ＝kπ＋，其中k∈z.
由0＜φ＜得φ＝，故f(x)＝－sin πx，f＝－sin＝－.
答案：－10．解：(1)因为f(x)＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝sin，所以当x＋＝2kπ－，k∈z，即x＝2kπ－，k∈z时，f(x)取最小值－.
此时x的取值集合为xx＝2kπ－，k∈z.
2)先将y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得y＝sin x的图象；再将y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得y＝f(x)的图象．
11． 解：(1)∵函数f(x)的最小正周期t＝＝π2，f＝cos＝cos＝－sin φ＝且－＜φ0，∴φ
2)由(1)知f(x)＝cos，列表如下：
图象如图：3)∵f(x)＞，即cos＞，2kπ－＜2x－＜2kπ＋，k∈z，则2kπ＋＜2x＜2kπ＋，k∈z，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈z.
x的取值范围是。
12．解：(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)cos(ωx＋φ)
2＝2sin.
y＝2sin是偶函数，φ－kπ＋，k∈z.
又0f(x)＝2sin＝2cos ωx.
由题意得＝2·，∴2.故f(x)＝2cos 2x.
因此f＝2cos＝.
2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到f的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图象．
所以g(x)＝f＝2cos＝2cos.
当2kπ≤－2kπ＋πk∈z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈z)时，g(x)单调递减．
因此g(x)的单调递减区间为(k∈z)．
冲击名校]1.解析：选a
由e为该函数图象的一个对称中心，b与d关于点e对称，cd―→在x轴上的投影为，知of＝，又a，所以af＝＝＝所以ω＝2.同时函数图象可以看作是由y＝sin ωx的图象向左平移得到，故可知＝＝，即φ＝.
2．解析：设三个横坐标依次为x1，x2，x3，由图及题意有。
解得x2＝，所以b＝f＝－.
答案：－高频滚动]
1．解析：选c 由f＝f(－x)可知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)b关于直线x＝对称，又函数f(x)在对称轴处取得最值，故±2＋b＝1，所以b＝－1或b＝3.
2．解析：选a 函数y＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知－＝为半周期，则周期为π，ω2，则y＝sin(2x＋φ)又由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象过点，代入可得φ＝，因此函数解析式为y＝sin，令x＝0，可得y＝.
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