闸北区2010学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷答案 2011.1
一、1．2； 2．①③3．； 4．； 5．； 6．；
二、11．c． 12．d． 13．b.
三、14．解：（1）【解一】，若，则2分。
所以2分。所以2分。
解二2分。2分。
2分。综上所述2分。
2）【解一】若为锐角，则，即，得．.…2分。
若为锐角，则，即，得或．……2分。
若为锐角，则，即，得2分。
综上所述2分。
解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分．15．解：（1）如图，作，则由已知，得，….2分。
所以4分。2）【解一】如图所示，以为原点，分别以线段、所在的直线为轴、轴，通过点，做垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系．……1分。
由题意，得，，，2分。
若，则4分。
得，与矛盾1分。
故，不存在，使得1分。
解二】取的中点，连，，则（或其补角）就是异面直线所成的角1分。
在中，，，3分。
2分。2分。
故，不存在，使得1分。
16．解：（1）由题意可知，当时，（万件），由可得．所以3分。由题意，有，解得．
所以，则该产品年**费用最少是1万元4分。
2）由题意，有每件产品的销售**为（元），所以，2023年的利润。
4分。因为，所以4分。
当且仅当，即（万元）时，利润最大为21万元1分。
17．解：（1）偶函数1分。
最大值为、最小值为01分。
单调递增区间：单调递减区间1分。
零点1分。单调区间证明：
当时， 设，证明在区间上是递增函数。
由于函数是单调递增函数，且恒成立，所以，所以，在区间上是增函数4分。
证明在区间上是递减函数。
证法一】因为在区间上是偶函数．
对于任取的，，有。
所以，在区间上是减函数4分。
证法二】设，由在区间上是偶函数，得。
以下用定义证明在区间上是递减函数4分。
2）设，所以，2是周期4分。
当时，所以4分。
18．解：（1）【解一】由得，又，，．
所以，{}是首项为1，公比为的等比数列5分。
由，得。所以，当时6分。
上式对显然成立1分。
解二】猜测，并用数学归纳法证明5分。
的求法如【解一7分。
解三】猜测，并用数学归纳法证明7分。
5分。2）当时，不是与的等差中项，不合题意1分。
当时，由得，由得（可解得2分。
对任意的，是与的等差中项2分。
证明：， 3分。
即，对任意的，是与的等差中项．
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