一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
1．设全集u=，集合a=，b=，则（ua）∩b=（ a. b. c. d.
2．设z＝，若复数z为纯虚数（其中i是虚数单位），则实数a等于（ ）a．-1 b．0 c．1 d.0.5
3．设x=log52，y=e0.5，z=0.5（e是自然对数的底数），则（ ）
a．x＜y＜z b．y＜x＜z c．z＜x＜y d．x＜z＜y
4．若α，β是非零实数，则“α+0”是“|α0”成立的（ ）
a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件。
5．设sn为等差数列的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使sn＞0成立的最小正整数n为（ ）a.6 b.7 c.8 d.9
6．设函数f（x）=acosax（a∈r）．则下列图象可能为y=f（x）的图象是（ ）
a． b． c． d．
7．已知a、b、c三点在同一条直线l上，o为直线l外一点，若p+q+r=，p，q，r∈r，则p+q+r=（ a．-1 b．0 c．1 d．3
8．设函数f（x）=（x-1）kcosx（k∈n*），则（ ）
a．当k=2013时，f（x）在x=1处取得极小值b．当k=2013时，f（x）在x=1处取得极大值。
c．当k=2014时，f（x）在x=1处取得极小值d．当k=2014时，f（x）在x=1处取得极大值。
9．设f1，f2为椭圆c： =1（a＞b＞0）的左，右焦点，点m在椭圆c上．若△mf1f2为直角三角形，且|mf1|=2|mf2|，则椭圆γ的离心率为（ ）a． b. c. d．
10．设x∈r，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）-ex]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（ ）a．1 b．e+l c．3 d．e+3
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）
11．设函数f（x）=|x-1|．若f（a）=2a，则a
12．将两枚各面分别刻有数字1，2，2，3，3，3的骰子掷一次，则掷得的点数之和为5的概率为___
13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是___
14．设不等式组所表示的平面区域为d．若圆c落在区域d中，则圆c的半径r的最大值为。
15．设函数f(x)＝0.25x2+bx0.75若对任意实数α，β不等式f （cosα） 0，f （2-sinβ）≥0恒成立，则b= _
16．设正实数x，y，z满足x+y+z=4，xy+yz+zx=5，则y的最大值为___
17．在△aob中，g为△aob的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且∠aob=60°．若＝6，则的最小值是___
三、解答题： 18．在△abc中，d为bc中点，cos∠bad＝，cos∠cad＝．
求：（1）∠bac的大小；（2）∠abc的大小和的值．
19．设数列的前n项和为sn，且满足sn＝nan(n∈n*)．
ⅰ）求证：数列是等比数列；（ⅱ设bn=（2-n）（an-1），求数列的前n项和tn．
20．设△abc是边长为1的正三角形，点p1，p2，p3四等分线段bc（如图所示）．
ⅰ）求的值；（ⅱ设动点p在边bc上，（i）请写出一个的值使＞0，并说明理由；（ii）当取得最小值时，求cos∠pab的值．
21．设a∈r，f(x)＝x3+ax+(1a)lnx．（ⅰ若a=0，求f（x）的极大值；
ⅱ）若函数y=f（x）有零点，求a的取值范围．
22．设点p（-2，1）在抛物线x2=2py（p＞0）上，且到圆c：x2+（y+b）2=1上点的最小距离为1．
ⅰ）求p和b的值；（ⅱ过点p作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线交于两点a，b，若直线ab与圆c交于不同两点m，n．（i）证明直线ab的斜率为定值；（ii）求△pmn面积取最大值时直线ab的方程．
答案一1、a 2、 b 3、d 4、 a 5、c 6、c 7、b 8、c 9、a 10、c
二11、-1或 17、 2
18.解：（1）由题意得：sin∠bad＝，sin∠cad＝，（2分）
故cos∠bac=cos（∠bad+∠cad）=cos∠badcos∠cadsin∠badsin∠cad＝..4分）∵0＜∠bac＜π∴bac＝（6分）
2）法1：先求∠abc由d为bc中点及三角形面积公式得：s△bad=s△cad
即0.5abadsin∠bad＝0.5acadsin∠cad，故ac＝ab，（9分）
在△abc中，由余弦定理得bc2=ab2+ac2-2abaccos∠bac
化简可得ab=bc，故△abc为等腰直角三角形，即∠abc＝．（11分）
从而易得＝＝（14分）
法2：先求在△abc中，由正弦定理得：＝…1）
在△abd中，由正弦定理得：＝…2）（8分）
由（1）（2）及d为bc中点可得＝2/＝，10分）
设ac＝2m，则ad=5m，在△acd中，由余弦定理得。
cd2=ad2+ac2-2adaccos∠dac可解得cd＝m，故bc＝2m，（12分）
故△abc为等腰直角三角形，即∠abc＝．（14分）
法3：先求取ac中点e，连接de，则∠ade=∠bad．在△ade中，由正弦定理得：（8分），可得，故=，（10分）
以下解法同法2
19.证明：（ⅰ数列的前n项和为sn，且满足sn＝nan(n∈n*)①sn+1=n+1-an+1得：
2an+1-an=1，∴an+11＝0.5(an1)，又∵a1＝0.5，∴a11＝0.
5(an1)，又∵a1＝0.5，∴a11＝0.5，∴数列是以-0.
5为首项，以0.5为公比的等比数列．
ⅱ）由（ⅰ）知an1＝，∴an＝1，∴bn＝，tn=， tn＝（）
上述两式相减，得： tn=-∴tn=-
20.解：（ⅰ2（1+．
ⅱ）设动点p在边bc上，（i）要使＞0，需∠apc为锐角，故点p应**段bp2上（不含p2），故＜0.5，即的值为区间[0，0.5）内的任意一个值．（ii）当点p**段bc上时（不含p2），＞0．
当点p**段p2c时，≤0，当取得最小值时，点p一定**段p2c上，设x，则=|pa||pc|cos=|pc|(-p1p2|=x2-0.5x，故当x=0.25时，即p在p3时，取得最小值，此时，cos∠pab=
21.解：（ⅰ由于a=0，则f（x）=-x3+lnx，f′（x）=-x2+=，易知x=1是函数f（x）=-x3+lnx极大值点，故f（x）的极大值为f（1）=-13+ln1=-；
ⅱ）由于f’(x)=-x2+a+=（x＞0），当a≤1时，f（x）在（0，1）上为增函数，在区间（1，+∞上为减函数，故函数f（x）在x=1处取得极大值，也是最大值f（1）=+a由题设知函数y=f（x）的最大值要大于或等于零，即a-≥0，可得≤a≤1，故当≤a≤1时，函数f（x）存在零点；
当a＞1时，f（1）=a-＞0，f（a）=（1-a）ln（a）＜0，由函数的零点存在性定理知，函数f（x）在（1， a）内必存在零点；
综上可知，若函数y=f（x）有零点，a的取值范围为[，+
ⅰ）解：∵点p（-2，1）在抛物线x2=2py（p＞0）上，∴（2）2=2p，解得p=2，∵点p（-2，1）到圆c：x2+（y+b）2=1上点的最小距离为1，＝1+1，解得b=-1．
ⅱ）（i）证明：设直线pa的斜率为k，则直线pb的斜率为-k，直线pa的方程为y-1=k（x+2），联立，整理，得x2-4kx-8k-4=0，根据韦达定理，有xa+xp=4k，∴xa=4k+2，∴a（4k+2，（2k+1）2），同理b（-4k+2，（-2k+1）2），∴直线ab的斜率为：kab＝=1．
ii）设直线ab的方程为y=x+t，则点p到直线ab的距离d＝，联立直线ab与圆c的方程，得，整理，得2x2+2（t-1）x+t2-2t=0，∵ab与圆c交于不同两点m，n，1-＜t＜1+，∵mn|==2t+1)
s△pmn=0.5 ([2t+1)= 设m=（t-3）2（-t2+2t+1），∵m′=2（t-3）（-t2+2t+1）+（t-3）2（-2t+2），由m′=0，解得t=，或t=（舍），或t=3（舍），（s△pmn）min=，此时直线ab的方程为y=x+．
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