2023年高考数学立体几何题试题分析

2023年四川高考数学立体几何题试题分析。

四川省荣县中学魏一峰。

2023年四川高考数学立体几何试题的特征可以用四个字来概括：

四平八稳。该试题源于高中现行教材。由于已知条件中能够找到三条两两互相垂直的直线，传统法和向量法两种方法均适宜解答。

试题起点低、易入手，考查了立体几何中的基础知识和基本技能；知识点覆盖面广，重点考查了线面关系及三垂线定理、角与距离的公式等内容。

第1问文理科为姊妹题。文科是已知d为中点，求证直线；理科是已知直线，求证d为的中点。从题设和结论来看，两个命题互为逆命题。

这样的设置符合文科学生对立体几何的认知水平，而题设与结论的置换又有效地增加了理科试题的区分度。

文科平均分5.733 其中满分卷30.74% 0分卷30.92%

理科平均分6.909 其中满分卷19.31% 0分卷14.34%

以理科第一问为例，传统方法最主要的解决途径是把线面平行转化为线线平行或者面面平行。在阅卷没有发现用第二种方法求解的，而且部分学生推导过程思路混乱、因果关系不明确。从中反映出立体几何在引入向量法后，严重地削弱了对学生逻辑推理能力和空间想象能力的培养。

约有一半的学生采用了向量法。多数学生理解和掌握了把直线与平面平行转化为直线对应向量与平面的法向量互相垂直的基本方法，突出的问题是d点和p点两个相关点之间的关系没有理清楚；反映了学生在平面几何中的平行线分线段成比例(或者三角形相似)等知识的欠缺，对三点共线的认识不够充分。

第2问文理科完全相同，求二面角的大小。

传统方法是利用，根据三垂线定理构造二面角的平面角或使用射影面积公式法。

阅卷反映出学生解题方法比较清楚（一般用传统方法的学生都是数学较好的），但计算能力较差，导致失分。

该题使用向量法，方法简单、计算量小，学生的得分率普遍比较高。

第3问仅限理科（文科只有2问），求点c到面的距离。

传统方法通常使用等积法或通过辅助线作出距离：

等积法由于可以把c点到平面的距离转化为到平面，可以选择6个不同的锥体，经过不同的途径求解出点到平面的距离。

虽然途径不同，但原理和求解的方法、步骤完全相同。

通过辅助线作到平面的距离，计算量小，但更考查学生的思维；难点在于要先利用三垂线定理作与平面垂直的平面，实际上只有极少数的优生采用了这种方法。

向量法同第2问一样，直接套用公式而且计算量小。大多数考生都选择了向量法求解，主要失分仍然是计算能力不过关。

根据今年的阅卷情况，那建议高中教师在平时的教学过程中注意以下几点：

1）合理协调传统法与向量法在教学中的比例，适当加强传统方法的运用，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

2）加强计算能力的培养。虽然常常讲“多思少算”，但计算是数学知识运用最基本的能力，在高考中因计算错误导致的错误占了较大的比例。以理科为例，虽然试题难度并不大，但满分的比例不到20%，其中计算性的失分非常严重。

3）空间向量解决立体几何问题，不能仅仅局限于了解法向量的求解和角与距离的公式；要让学生真正理解向量运用的基本原理，才能灵活运用知识解决遇到的各类问题。下面我们欣赏一下今年高考试卷理科第1问的经典解法：

建系设点略）设d点坐标为，则p点的坐标为。

又，则有。

解得解答过程简洁流畅，可以看到学生对向量知识的深刻理解，和灵活的运用知识解决问题的把握能力。