班年级数学科辅导讲义（第 1 讲）
高考数学中的压轴题主要会出现三大类：一、函数，二、数列，三、解析几何，三大类中大致会有20个常考的题型，通常会以综合题的形式出现。
第一讲、函数。
1.二次函数 2.复合函数 3.创新性函数4.抽象函数。
5.导函数（极值，单调区间）--不等式 6.函数在实际中的应用。
第二讲、数列。
7.函数与数列综合 8.数列的概念和性质 9.的关系
10创新型数列 11数列与不等式
第三讲、解析几何。
12数列与解析几何。
13椭圆 14双曲线 15抛物线。
16解析几何中的参数范围问题 17解析几何中的最值问题。
18解析几何中的定值问题 19解析几何与向量。
20**性问题。
1.二次函数。
例1. 对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点．
1）当时，求的不动点；
2）若对于任何实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
3）在(2)的条件下，若的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围．
分析本题考查二次函数的性质、直线等基础知识，及综合分析问题的能力
函数与方程思想。
解： ，1）当时，．
设为其不动点，即，则．所以，即的不动点是。
2）由得。由已知，此方程有相异二实根，所以，即对任意恒成立．
3）设，直线是线段的垂直平分线，．
记的中点，由(2)知．
在上，化简得：，当时，等号成立．
即。练习1. 已知函数，若对任意，且，都有．
ⅰ）求实数的取值范围；
ⅱ）对于给定的实数，有一个最小的负数，使得时，都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值．
解：（ⅰ实数的取值范围为．
ⅱ）∵显然，对称轴。
1）当，即时，，且．
令，解得，此时取较大的根，即，∵，
2）当，即时，，且．
令，解得，此时取较小的根，即，，∴当且仅当时，取等号．，∴当时，取得最小值－3．
2 复合函数。
例2．已知函数满足，其中，且。
1）对于函数，当时，，求实数m的取值范围；
2）当时，的取值范围恰为，求的取值范围。
解： 且。设，则。
当时在其定义域上。
当时在其定义域上。
且，都有为其定义域上的增函数。
又∵ ∴为奇函数。
1）∵ 当时，∴
2）当时，∵ 在上，且值域为∴
练习2. 函数是的反函数，的图象与函数的图象关于直线成轴对称图形，记。
1）求的解析式及其定义域；（2）试问的图象上是否存在两个不同的点a、b，使直线ab恰好与轴垂直？若存在，求出a、b的坐标；若不存在，说明理由。
解：（1 的图象与的图象关于直线成轴对称图形。
的图象与的图象关于直线对称。
即：是的反函数
2）假设在的图象上存在不同的两点a、b使得轴，即使得方程有两不等实根。
设，则在（，1）上且。
， 使得方程有两不等正根。
设，由函数图象可知：，方程仅有唯一正根∴ 不存在点a、b符合题意。
3.创新型函数。
1.在r上定义运算（b、c为实常数）。记，令。
ⅰ）如果函数在处有极值，试确定b、c的值；
ⅱ）求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
ⅲ）记的最大值为。若对任意的b、c 恒成立，试示的最大值。
解：∵∴ⅰ）由在处有极值，可得。
解得或。若，则，此时没有极值；
若，则。当变化时，、的变化情况如下表：
当是，有极大值，故即为所求。
ⅱ）设曲线在处的切线的斜率为，，∴即。解得或。
若，则，得切点为，切线方程为；
若，则，得切点为，切线方程为。
若，解得，则此时切线与曲线的公共点为，；
2)若，解得，，此时切线与曲线的公共点为，。
综合可知，当时，斜率为c的切线与曲线有且只有一个公共点；当，斜率为c的切线与曲线有两个不同的公共点，分别为和或，。
1)当时，函数的对称轴位于区间外，在上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个。，即∴
2)当得对称轴x=b位于区间之内。此时。由。
若。于是。
若，则，于是。
综上，对任意的b、c都有。
而当，时，在区间上的最大值。
故对任意的b，c恒成立的k的最大值为 。
练习3．设函数，其中表示不超过的最大整数，ⅰ)求的值；
ⅱ)若在区间上存在x,使得成立，求实数k的取值范围；
ⅲ)求函数的值域。
解：(ⅰ因为，所以 (ⅱ因为，所以，
则。 求导得，当时，显然有， 所以在区间上递增， 即可得在区间上的值域为， 在区间上存在x,使得成立，所以 (ⅲ由于的表达式关于x与对称，且x0,不妨设x1. 当x1时，1,则； 当x1时，设x n,nn*,01.
则x n,,所以 , 在1,上是增函数，又， ,当时， 当时， 故时，的值域为i1∪i2∪…∪in∪… 设， 则。 ,当n2时，a2 a3 a4… an… 又bn单调递减， b2 b3… bn… a2,b2 i2i3i4…in
i1∪i2∪…∪in∪…i1∪i2 . 综上所述，的值域为。
4.抽象函数。
例4. 定义在r上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0（1）判断f(x)的单调性；（2）设，若，试确定a的取值范围。
解：（1）在中，令，得，因为，所以。
在中，令。因为当时，，所以当时。
而，所以。又当x=0时，，所以，综上可知，对于任意，均有。
设，则。所以。
所以在r上为减函数。
2）由于函数y=f(x)在r上为减函数，所以。
即有，又，根据函数的单调性，有。
由，所以直线与圆面无公共点。因此有，解得。
练习4. 设f(x)是定义在r上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.
1)求f()、f();2)证明f(x)是周期函数；(3)记an=f(n+),求。
解：(1)因为对x1,x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=≥0,x∈［0,1］
又因为f(1)=f(+)f()·f()=f()］2，f()=f(+)f()·f()=f（）］2
又f(1)=a>0∴f()=a,f()=a
证明：(2)依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈r.
又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x),x∈r∴f(－x)=f(2－x),x∈r.
将上式中－x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是r上的周期函数，且2是它的一个周期。
解：(3)由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］
f()=f(n·)=f(+(n－1) )f()·f((n－1)·)
……=f()·f()·f()=f()］a，∴f()=a.
又∵f(x)的一个周期是2
f(2n+)=f(),因此an=a，∴
5.导函数——不等式。
例5. 设，对任意实数，记。
ⅰ）求函数的单调区间；（ⅱ求证：（ⅰ当时，对任意正实数成立；
ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对于任意正实数成立。
分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．分类讨论、化归**化）思想方法。
i）解：．由，得．因为当时，当时，，当时，故所求函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．
ii）证明：（i）方法一：
令，则，当时，由，得，当时，所以在内的最小值是．故当时，对任意正实数成立．
方法二：对任意固定的，令，则，由，得．当时，；当时，所以当时，取得最大值．因此当时，对任意正实数成立．
ii）方法一：
由（i）得，对任意正实数成立．
即存在正实数，使得对任意正实数成立．
下面证明的唯一性：
当，，时，由（i）得，，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立．
故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
方法二：对任意，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：
即。又因为，不等式①成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
练习5. 已知函数。
1）求函数的反函数和的导函数；
2）假设对，不等式成立，求实数的取值范围。
解：（12）∵ 成立。
设， 恒有成立。
∴ 在上。
即 ∴ 在上。
的取值范围是。
6.函数在实际中的应用。
例6. 两县城a和b相距20km，现计划在两县城外以ab为直径的半圆弧上选择一点c建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城a和城b的总影响度为城a与城b的影响度之和，记c点到城a的距离为x km，建在c处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城a的影响度与所选地点到城a的距离的平方成反比，比例系数为4；对城b的影响度与所选地点到城b的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城a和城b的总影响度为0.
065.
1）将y表示成x的函数；
11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度最小？若存在，求出该点到城a的距离；若不存在，说明理由。
解：（1）如图，由题意知ac⊥bc,其中当时，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为。
设，则，所以当且仅当即时取”=”
下面证明函数在(0,160)上为减函数， 在(160,400)上为增函数。
整式加减常考题型 1
一 单项式中需要注意的的地方。1 分母中不能出现字母，如1 x,1 4 a 2 不能出现加，减号，如4 x 3 不是字母，是数。练习题。1 2 x 3它的系数是。2 xy系数是次数是。3 4 r2系数是次数。4 9 103a2b3系数是次数是。5 2 a是单项式吗？6 3 5m2ab是5次单项式，b...
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第六题常考题型
第六题主要都为方法 原因 表现形式类讲解，极少数情况下会穿插定义 1 in the lecture,the professor mainly mentions two 有时候可能只有一种 reasons factors for to 用同义词表达问题中核心句的意义 如 the causes of g...