课题（专题）：3.2立体几何中的向量方法班级姓名。
2. 向量作为工具解决立几问题的方法。
学习重点难点】
空间向量的坐标表示方法。
一自主学习。
一。空间距离的计算。
1. 空间两点间的距离：设a、b是空间两点，则a、b两点间的距离。
2.两条异面直线间的距离：设a、b是两条异面直线，是a、b的公共法向量（即），点aa,bb则异面直线a、b间的距离
即方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。
3.点（或线）到平面的距离：
1）设。p是平面α内任一点，则po到平面α的距离。
2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。
二。空间角度的计算。
1. 两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，∥l1 ，∥l2，则l1与l2所成的角。
α=<或α=л0<α≤
cos<， 或 cosα= 0<α≤
2. 斜线p0p与平面α所成的角θ
3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为，则α与β所成的角的大小为<> 或 （如何确定？）
提出疑惑。二互动展示。
知识点一用向量方法判定线面位置关系。
(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：
a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．
a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．
2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：
u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)．
u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．
3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．
u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)．
u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．
知识点二利用向量方法证明平行问题。
如图所示，在正方体abcd－a1b1c1d1中，m、n分别是c1c、b1c1的中点．求证：mn∥平面a1bd.
知识点三利用向量方法证明垂直问题。
在正棱锥p—abc中，三条侧棱两两互相垂直，g是△pab的重心，e、f分别为bc、pb上的点，且be∶ec＝pf∶fb＝1∶2.
1)求证：平面gef⊥平面pbc；
2)求证：eg是pg与bc的公垂线段．
知识点四利用向量方法求角。
四棱锥p—abcd中，pd⊥平面abcd，pa与平面abcd所成的角为60°，在四边形abcd中，∠d＝∠dab＝90°，ab＝4，cd＝1，ad＝2.
1)建立适当的坐标系，并写出点b，p的坐标；
2)求异面直线pa与bc所成角的余弦值．
正方体abef－dce′f′中，m、n分别为ac、bf的中点(如图所示)，求平面mna与平面mnb所成二面角的余弦值．
知识点五用向量方法求空间的距离。
已知正方形abcd的边长为4，e、f分别是ab、ad的中点，gc⊥平面abcd，且gc＝2，求点b到平面efg的距离．
考题赏析。高考链接)
如图所示，在四棱锥o—abcd中，底面abcd是边长为1的菱形，∠abc＝，oa⊥底面abcd，oa＝2，m为oa的中点．
1)求异面直线ab与md所成角的大小；
2)求点b到平面ocd的距离．
1．已知a(1,0,0)、b(0,1,0)、c(0,0,1)，则平面abc的一个单位法向量是( )
ab． (cd． (
2．已知正方体abcd—a1b1c1d1，e、f分别是正方形a1b1c1d1和add1a1的中心，则ef和cd所成的角是( )
a．60b．45°
c．30d．90°
3．设l1的方向向量a＝(1,2，－2)，l2的方向向量b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝(
a．1 b．2 c． d．3
4．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )
ab．α⊥c．α，相交但不垂直 d．以上均不正确。
5．已知a、b是异面直线，a、b∈a，c、d∈b，ac⊥b，bd⊥b，且ab＝2，cd＝1，则a与b所成的角是( )
a．30° b．45° c．60° d．90°
6．若异面直线l1、l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
a． b．c．－ d．
7．已知向量n＝(6,3,4)和直线l垂直，点a(2,0,2)在直线l上，则点p(－4,0,2)到直线l的距离为___
8．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为___
9．已知四面体顶点a(2,3,1)、b(4,1，－2)、c(6,3,7)和d(－5，－4,8)，则顶点d到平面abc的距离为___
10．如图所示，在四棱锥p—abcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd⊥平面abcd，pd＝dc，e是pc的中点，作ef⊥pb交pb于f.
1)证明：pa∥平面bde；
2)证明：pb⊥平面def.
11．如图所示，已知点p在正方体abcd—a′b′c′d′的对角线bd′上，∠pda＝60°.
1)求dp与cc′所成角的大小；
2)求dp与平面aa′d′d所成角的大小．
12. 如图，四边形abcd是菱形，pa⊥平面abcd，pa=ad=2，∠bad=60°.
平面pbd⊥平面pac，
1)求点a到平面pbd的距离；
2)求异面直线ab与pc的距离。
13.如图所示，直三棱柱abc—a1b1c1中，底面是以∠abc为直角的等腰直角三角形，ac = 2a，bb1 = 3a，d为a1c1的中点，**段aa1上是否存在点f，使cf⊥平面b1df？若存在，求出||；若不存在，请说明理由。
14．如图(1)所示，已知四边形abcd是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形．将它沿对称轴oo1折成直二面角，如图(2)．
1)证明：ac⊥bo1；
2)求二面角o—ac—o1的余弦值．
三总结拓展。
知识小结。例题及作业答案：
知识点一用向量方法判定线面位置关系。
(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：
a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．
a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．
2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：
u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)．
u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．
3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．
u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)．
u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．
解 (1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.
∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)，u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α
∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，∴u∥v，∴α
3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴lα或l∥α.
∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.
知识点二利用向量方法证明平行问题。
如图所示，在正方体abcd－a1b1c1d1
中，m、n分别是c1c、b1c1的中点．求证：mn∥平面a1bd.
证明方法一如图所示，以d为原点，da、dc、dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得。
m (0,1，)，n (,1,1)，d(0,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，于是 =（0，），
设平面a1bd的法向量是
n=（x，y，z）.
n＝(x，y，z)．
则n·＝0，得。
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
又 ·n＝ (0，)·1，－1，－1)＝0，方法二 ∵
∥，又∵mn平面a1bd.
mn∥平面a1bd.
知识点三利用向量方法证明垂直问题。
在正棱锥p—abc中，三条侧棱两两互相垂直，g是△pab的重心，e、f分别为bc、pb上的点，且be∶ec＝pf∶fb＝1∶2.
1)求证：平面gef⊥平面pbc；
2)求证：eg是pg与bc的公垂线段．
证明 (1)方法一
如图所示，以三棱锥的顶点p为原点，以pa、pb、pc所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
令pa＝pb＝pc＝3，则。
a(3,0,0)、b(0,3,0)、c(0,0,3)、e(0,2,1)、f(0,1,0)、g(1,1,0)、p(0,0,0)．
于是 ＝(3,0,0)，＝3,0,0)，故 ＝3，∴pa∥fg.
而pa⊥平面pbc，∴fg⊥平面pbc，又fg平面efg，∴平面efg⊥平面pbc.
方法二同方法一，建立空间直角坐标系，则。
e(0,2,1)、f(0,1,0)、g(1,1,0)．
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