周期工程问题。
专题简析：周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。
其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。
教学过程：例1：
一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？
把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。
1 需循环的次数为：1÷（+7（次）
2 7个循环后剩下的工作量是：1-（+7=
3 余下的工作两还需甲做的时间为：÷=小时）
4 完成任务共用的时间为：2×7+=14（小时）
答：完成任务时需共用14小时。
练习1：1、 一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、乙……的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？
1）需循环的次数。
（2）3个循环后剩下的工作量。
（3）最后由乙做的时间。
小时。（4）需要的总时间。
2×3+1+＝7小时。
例2：一项工程，甲、乙合作26天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙甲。
乙甲乙甲……乙甲乙甲。
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。
1 甲每天能做这项工程的1÷26×=
2 甲单独做完成的时间1÷=40（天）
答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。
练习2：一项工程，乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数天完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？
提示：甲的效率是乙的2倍。
20÷2＝10天。
例3：一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。
已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙甲。
乙甲乙甲……乙甲乙剩60个。
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。
甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个）
乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个）
答：甲每天做150个，乙每天做90个。
练习3：一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩84个不能完成。
已知师、徒工作效率的比是7：4。师、徒二人每天各做多少个？
师傅：84÷（7－4）×7＝196个。
徒弟：84÷（7－4）×4＝112个。
例4：打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。
甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？
根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了3小时。
1 每循环一次，他们共完成全部工程的（+）3＝
2 总工作量里包含几个9/20：1÷=2
3 甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的1-×2＝
4 由于＞，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（-）
5 打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+=13（小时）
答：打印这部稿件共需13小时。
练习4：一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管，18分钟能把空池灌满。
现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？
提示：把6分钟看作一个循环。
1） 每循环一次的工作量。
2） 总工作量里面有几个。
3） 3个循环后剩下的工作量。
4） 一共需要的时间。
6×3+1+（－20分钟。
例5：有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。
如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。
已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。
如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲。
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙丙。
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙甲。
从中可以退出：丙=甲；由于乙=甲－丙=甲－甲×，又推出乙=甲；与题中“三个工程队的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。
三种轮流方式用的天数必定如下所示：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲乙。
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙丙甲。
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙甲乙。
由此推出：丙=甲，丙=乙。
1 丙队每天做这项工程的×=
2 乙队每天做这项工程的÷=
3 甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷（+5（天）
答：甲、乙、丙合作要5天完工。
练习5：有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。
如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单独做7天完成。
且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的，丙的效率也是乙的。
1） 丙的工作效率×＝
2） 乙的工作效率÷＝
3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（+2天。
习题。1、一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？
1）需循环的次数。
（2）3个循环后剩下的工作量。
（3）最后由乙做的时间。
小时。（4）需要的总时间。
2×3+＝6小时。
2、一项工程，甲、乙合作12小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多小时才能完成。
这项工程由甲独做几小时可以完成？
提示：乙的效率是甲的。
1÷（1÷12×）＝21小时。
3、红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。
如果让师、徒二人合作，只需3小时36分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个？
3小时36分＝3小时。
师、徒效率和：1080÷3＝300个。
师傅每小时的个数：（300+60）÷2＝180个。
徒弟每小时的个数：（300－60）÷2＝120个。
4、一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做需60天完工。现在，自某年的3月2日两人一起开工，甲每工作3天则休息1天，乙每工作5天则休息一天，完成全部工程的为几月几日？
提示：把12天看作一个循环。
12天中甲的工作量。
12天中乙的工作量。
总共需要的天数。
（12天减去最后休息的1天）
12×2－1＝23天。
完成全部任务的为3月24日。
5、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。
比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需13天可以完成，且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？
由题意可以推出，丙的效率是甲的＝，丙的效率是乙的，进而推出甲、乙、丙工作效率的比是4：3：2。
1÷（1÷13×）＝31天。
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