《数学建模》第四次作业。
---生产批量与单位成本的关系。
组数： 第七组。
组员学号 张杰 20089013
陈林 20089015
钱浩程 20089163
石磊 20089186
摘要。本文针对构造一个合适的回归模型全面地描述某工厂产品的生产批量与单位成本的关系的问题，我们进行了数据的计算与分析，建立线性模型，运用matlab进行计算求解，得出合适的回归模型。
关键词： 整数规划线性模型回归模型。
一、 问题提出。
下表给出了某工厂产品的生产批量和单位成本（元）的数据，从散点图可以明显地发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。希望你构造一个合适的回归模型全面地描述生产批量与单位成本的关系。
二、 基本假设。
假设1：单位成本只受生产批量的影响，不考虑可能存在的其它因数的影响。
假设2：在整个生产过程中，其单位成本不随时间和生产的方式的改变。
假设3：根据题中已经给出的数据，假定所有数据都真实可靠。
三、符号说明。
四、问题分析。
记生产批量为x，单位成本为y。由于从散点图可以明显地发现，x在500以内时，y对x服从一种线性关系，x超过500时服从另一种线性关系，此时y明显下降。所以考虑从两个方面着手，建立模型：
1.分段建立模型：即x在500以内时，建立模型（1）；x超过500时，建立模型（2）。
然后综合模型（1）和（2）建立回归模型。 2.以所有数据为整体，建立模型(3)。
再次结合题意，考虑以500为分段点，并引入虚拟变量建立模型（4）。
五、模型的建立与求解。
5.1模型的建立。
1.分段建立模型：
记生产批量x1<500时，单位成本为y1，生产批量x2>500时，单位成本为y2。为了大致地分析y与x的关系，首先利用表中表中数据分别作出y1对x1和y2对x2的散点图。
从图1可以发现对和对成线性关系。所以分别建立线性模型：
模型（1）：
模型（2）：
5.2 模型的求解。
1.分段模型求解：
将x1和y1的数据分别输入matlab：
得到模型（1）的回归系数估计值及其置信水平、检验统计量，f,p的结果见表1.
** 1然后，对数据进行残差分析：
图 3 残差分析图1
从结果可以看出，应将第二个点去掉后再进行拟合：
得到模型（1）的回归系数估计值及其置信水平、检验统计量，f, p的结果见表2.
** 2可见r的平方非常接近1.说明模型较准确。
于是得到模型（1）：
将x2和y2的数据分别输入matlab：
得到模型（1）的回归系数估计值及其置信水平、检验统计量，f,p的结果见表3.
** 3于是得到模型（2）：
对数据进行残差分析：
由图可知，数据无异常点。
综合模型（1）和（2）可得：
或。由于数据点本来就很少，模型（2）中去掉一数据点，所以模型不具说服力。
2. 模型（3）：
若直接考虑全组数据，对整个11组数据直接拟合。
绘出散点图。
图 5 y对x的散点图。
将x和y的数据分别输入matlab计算：
得到模型（1）的回归系数估计值及其置信水平、检验统计量，f,p的结果见表4.
** 4即单位成本y的96.3097%能由模型确定，p远小于0.05，因而模型是可用的。
所以模型（3）为：
图 6 残差分析图3
残差分析显示没有异常点，模型比较准确。
3. 模型（4）：
从中模型（3）中我们已经可以发现整组数据本身就服从置信度较高的线性关系。但是题目却仍然告诉我们：生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系。
于是我们开始考虑再引入一个虚拟变量a。,并加入一项再次进行拟合。得到结果：
模型为：。5.3 结果的分析。
综合上面的拟合结果我们采用模型4，它既能紧密结合题意对数据进行分开讨论，且能高达97.63%。是所有模型中准确度最高的。
我们带回数据对它进行检验后也发现这个模型的计算结果几乎等于已知的结果，再次说明了结果的准确性。
六、模型的评价与推广。
6.1 模型的评价。
本文优点：逻辑性强，过程简洁，通俗易懂，让人一目了然。
本文缺点：将切割进行了理想化分析，与实际情况有一定偏差。
6.2 模型的推广。
可以通过本题得多变量最优化模型对于一些规划问题，均可用本题的模型来求解。
七、参考文献。
1] 姜启源等， 《数学模型》（第三版），高等教育出版社，2024年8月。
八、附录。程序1：两段直线，x小于500时：
> x1=[340,400,300,480,440]';
> y1=[4.45,4.52,4.65,4.04,4.20]';
> x=[ones(size(x1)) x1 ];
> [b,bint,r,rint,stats]=regress(y1,x)b =
bint =
r =rint =
stats =
> stepwise(x,y1,[1,2])
> rcoplot(r,rint)
两段直线，x大于500时：
> x2=[650,800,600,720,540,750]';
> y2=[2.48,1.38,2.96,2.18,3.10,1.50]';
> x=[ones(size(x2)) x2 ];
> [b,bint,r,rint,stats]=regress(y2,x)b =
bint =
r =rint =
stats =
> stepwise(x,y2,[1,2])
> rcoplot(r,rint)
程序2：一条直线。
> x1=[650,340,400,800,300,600,720,480,440,540,750]';
> y1=[2.48,4.45,4.52,1.38,4.65,2.96,2.18,4.04,4.20,3.10,1.50]';
> x=[ones(size(x1)) x1 ];
> [b,bint,r,rint,stats]=regress(y1,x)b =
bint =
r =rint =
stats =
> stepwise(x,y1,[1,2])
> rcoplot(r,rint)
加入虚拟变量a后的程序：
> y=[2.4800 4.4500 4.
5200 1.3800 4.6500 2.
9600 2.1800 4.0400 4.
2000 3.1000 1.5000]';
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